Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação
para o valor de
indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
)
, com
, para um valor genérico de
Dica: para calcular
no item (a), fatore o numerador
de modo a cancelar o denominador
; no item (b), calcule a diferença
reduzindo as frações a um mesmo denominador, de modo a eliminar o denominador
Dica: para calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é encontrar a inclinação da reta tangente à função no ponto especificado e depois determinar a equação dessa reta tangente. Isso envolve entender um pouco de derivadas, que é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a saber como uma função está mudando em um ponto específico. Vamos precisar usar a definição de derivada e aplicar algumas técnicas de álgebra para simplificar os cálculos.
Passo 2
Vamos começar com o item (a). A função dada é
, onde
e
são números reais, e queremos encontrar a inclinação
para um valor genérico de
.
Primeiro, lembrando que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Para funções do tipo
, que são linhas retas, a derivada é bem direta.
A derivada de
em relação a
é:
Isso acontece porque a inclinação de uma reta é constante, igual a
. Portanto, independentemente do valor de
, a inclinação
será sempre
.
Agora, para encontrar a equação da reta tangente no ponto
, usamos a fórmula da reta:
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Interessante, percebemos que a reta tangente é a própria função
, o que faz sentido porque a função é uma linha reta, e qualquer tangente a ela é a própria linha.
Passo 3
Vamos para o item (b). Embora o enunciado completo não esteja aqui, com base na dica fornecida, parece que temos uma função do tipo
e queremos encontrar
ou outro valor específico.
Seguindo a dica, para calcular
, usamos a definição de derivada:
Vamos aplicar isso para
:
Primeiro, vamos simplificar o numerador:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Observamos que
, então:
Agora, podemos substituir
:
Então, a inclinação da reta tangente em
é
.
Para encontrar a equação da reta tangente, usamos novamente a fórmula:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Resposta
A inclinação da reta tangente à função no ponto especificado é
para a função linear, e
para a função
. As equações das retas tangentes são:
- Para
:
- Para
no ponto :
Exercícios relacionados
Sejam
e
os lados de um triângulo retângulo, onde
é a hipotenusa. Suponha que o triângulo tem perímetro igual a 6 . Determine a expressão da função
que fornece a área do triângulo em função de
.
Dica: eleve os dois lados da igualdade ao quadrado.
Dica: eleve os dois lados da igualdade
Considerando
, determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
Determine para quais valores de
as desigualdades abaixo são satisfeitas.
Determine para quais valores de
as igualdades abaixo são satisfeitas.