Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f'(a) para o valor de a indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) )
f(x) = m x + b, com m, b in R, para um valor genérico de a
Dica: para calcular f'(2) no item (a), fatore o numerador x^2 - 4 de modo a cancelar o denominador x - 2; no item (b), calcule a diferença (1 / x) - (1 / 3) reduzindo as frações a um mesmo denominador, de modo a eliminar o denominador x - 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é encontrar a inclinação da reta tangente à função no ponto especificado e depois determinar a equação dessa reta tangente. Isso envolve entender um pouco de derivadas, que é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a saber como uma função está mudando em um ponto específico. Vamos precisar usar a definição de derivada e aplicar algumas técnicas de álgebra para simplificar os cálculos.

Passo 2

Vamos começar com o item (a). A função dada é , onde e são números reais, e queremos encontrar a inclinação para um valor genérico de .
Primeiro, lembrando que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Para funções do tipo , que são linhas retas, a derivada é bem direta.
A derivada de em relação a é:
Isso acontece porque a inclinação de uma reta é constante, igual a . Portanto, independentemente do valor de , a inclinação será sempre .
Agora, para encontrar a equação da reta tangente no ponto , usamos a fórmula da reta:
Sabemos que e . Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Interessante, percebemos que a reta tangente é a própria função , o que faz sentido porque a função é uma linha reta, e qualquer tangente a ela é a própria linha.

Passo 3

Vamos para o item (b). Embora o enunciado completo não esteja aqui, com base na dica fornecida, parece que temos uma função do tipo e queremos encontrar ou outro valor específico.
Seguindo a dica, para calcular , usamos a definição de derivada:
Vamos aplicar isso para :
Primeiro, vamos simplificar o numerador:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Observamos que , então:
Agora, podemos substituir :
Então, a inclinação da reta tangente em é .
Para encontrar a equação da reta tangente, usamos novamente a fórmula:
Sabemos que e . Substituindo:

Resposta

A inclinação da reta tangente à função no ponto especificado é para a função linear, e para a função . As equações das retas tangentes são:
  • Para :
  • Para no ponto :

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