Sejam
e
os lados de um triângulo retângulo, onde
é a hipotenusa. Suponha que o triângulo tem perímetro igual a 6 . Determine a expressão da função
que fornece a área do triângulo em função de
.
Dica: eleve os dois lados da igualdade
ao quadrado.
Dica: eleve os dois lados da igualdade
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um triângulo retângulo com lados
(hipotenusa),
e
. O perímetro desse triângulo é 6. Nosso objetivo é encontrar uma função
que nos dê a área do triângulo em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras se aplica. Isso significa que:
Além disso, sabemos que o perímetro é a soma dos lados:
A partir dessa equação, podemos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos usar a dica que é elevar ao quadrado ambos os lados da equação
:
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 4
Lembre que do teorema de Pitágoras temos
. Substituindo isso na equação expandida:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Passo 6
A área
de um triângulo retângulo é dada por:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Resposta
A função que fornece a área do triângulo em função de
é:
Exercícios relacionados
Considerando
, determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
Para
e
como acima, determine a expressão e domínio de
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação
para o valor de
indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
)
, com
, para um valor genérico de
Dica: para calcular no item (a), fatore o numerador
de modo a cancelar o denominador
; no item (b), calcule a diferença
reduzindo as frações a um mesmo denominador, de modo a eliminar o denominador
Dica: para calcular
Determine para quais valores de
as desigualdades abaixo são satisfeitas.