Sejam e os lados de um triângulo retângulo, onde é a hipotenusa. Suponha que o triângulo tem perímetro igual a 6 . Determine a expressão da função que fornece a área do triângulo em função de .
Dica: eleve os dois lados da igualdade ao quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um triângulo retângulo com lados (hipotenusa), e . O perímetro desse triângulo é 6. Nosso objetivo é encontrar uma função que nos dê a área do triângulo em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras se aplica. Isso significa que:
Além disso, sabemos que o perímetro é a soma dos lados:
A partir dessa equação, podemos isolar :

Passo 3

Agora, vamos usar a dica que é elevar ao quadrado ambos os lados da equação :
Expandindo o lado esquerdo:

Passo 4

Lembre que do teorema de Pitágoras temos . Substituindo isso na equação expandida:
Podemos cancelar dos dois lados:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :

Passo 6

A área de um triângulo retângulo é dada por:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Resposta

A função que fornece a área do triângulo em função de é:

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Considerando , determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
Para e como acima, determine a expressão e domínio de
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação para o valor de indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto )
, com , para um valor genérico de
Dica: para calcular no item (a), fatore o numerador de modo a cancelar o denominador ; no item (b), calcule a diferença reduzindo as frações a um mesmo denominador, de modo a eliminar o denominador
Determine para quais valores de as desigualdades abaixo são satisfeitas.