Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f'(a) para o valor de a indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) )
© f(x) = m x + b, com m, b in R, para um valor genérico de a

Passo 1

Vamos resolver o exercício em que precisamos encontrar a inclinação para a função em um valor genérico de . Depois, vamos calcular a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções lineares e a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Para funções lineares como essa, a derivada é constante.
A fórmula para a derivada de é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto é igual a .

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto . A equação da reta tangente pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores que já encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma , onde é o intercepto y da reta tangente.
Distribuindo o na expressão:
Agora, somamos em ambos os lados:
Curiosamente, a equação da reta tangente é a própria função original, o que faz sentido porque para funções lineares, a reta tangente em qualquer ponto é a própria reta.

Resposta

A inclinação é igual a e a equação da reta tangente no ponto é .

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