Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação
para o valor de
indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
)
©
, com
, para um valor genérico de
©
Passo 1
Vamos resolver o exercício em que precisamos encontrar a inclinação
para a função
em um valor genérico de
. Depois, vamos calcular a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções lineares e a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Para funções lineares como essa, a derivada é constante.
A fórmula para a derivada de
é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
é igual a
.
Passo 3
Agora que sabemos que
, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto
. A equação da reta tangente pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma
, onde
é o intercepto y da reta tangente.
Distribuindo o
na expressão:
Agora, somamos
em ambos os lados:
Curiosamente, a equação da reta tangente é a própria função original, o que faz sentido porque para funções lineares, a reta tangente em qualquer ponto é a própria reta.
Resposta
A inclinação
é igual a
e a equação da reta tangente no ponto
é
.