Leia com atenção as afirmações:
(I) A integral é imprópria e convergente;
(II) A integral não é imprópria, mas é divergente;
(III) A integral é imprópria e divergente;
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ]VVV [ ]FFF [ ]FVF [ ]VFF [ ]VVF [ ]FVV [ ]FFV [ ]VFV
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre integrais definidas e precisamos verificar se cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos usar conhecimentos sobre integrais impróprias, convergência e divergência.
Passo 2
Afirmação I: A integral é imprópria e convergente.
Vamos analisar:
Integral Imprópria: Uma integral é imprópria se houver um dos limites de integração tendendo ao infinito ou se a função integranda tiver descontinuidades no intervalo de integração.
Função : Sabemos que . Essa função tem descontinuidade em porque , o que faz tender ao infinito.
Convergência: Para verificar se a integral converge, precisamos calcular o limite:
Sabemos que e . Portanto, a integral diverge.
Conclusão: A afirmação I é falsa porque, embora a integral seja imprópria, ela não converge.
Passo 3
Afirmação II: A integral não é imprópria, mas é divergente.
Vamos analisar:
Simplificando a função integranda:
Portanto, a integral fica:
Integral Não Imprópria: A função é contínua no intervalo exceto em . Mas, ao simplificar, a integral se torna , que é finita.
Convergência: A integral converge para o valor 3.
Conclusão: A afirmação II é falsa porque a integral não é divergente, ela converge.
Passo 4
Afirmação III: A integral é imprópria e divergente.
Vamos analisar:
Integral Imprópria: A integral é imprópria porque o limite superior de integração é .
Comportamento da Função para :
Sabemos que converge, pois .
Convergência: Portanto, a integral também converge.
Conclusão: A afirmação III é falsa porque, apesar de ser imprópria, a integral converge.