Leia com atenção as afirmações:
(I) A integral é imprópria e convergente;
(II) A integral não é imprópria, mas é divergente;
(III) A integral é imprópria e divergente;
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ]VVV [ ]FFF [ ]FVF [ ]VFF [ ]VVF [ ]FVV [ ]FFV [ ]VFV

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre integrais definidas e precisamos verificar se cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos usar conhecimentos sobre integrais impróprias, convergência e divergência.

Passo 2

Afirmação I: A integral é imprópria e convergente.
Vamos analisar:
  1. Integral Imprópria: Uma integral é imprópria se houver um dos limites de integração tendendo ao infinito ou se a função integranda tiver descontinuidades no intervalo de integração.
  2. Função : Sabemos que . Essa função tem descontinuidade em porque , o que faz tender ao infinito.
  3. Convergência: Para verificar se a integral converge, precisamos calcular o limite:
    Sabemos que e . Portanto, a integral diverge.
Conclusão: A afirmação I é falsa porque, embora a integral seja imprópria, ela não converge.

Passo 3

Afirmação II: A integral não é imprópria, mas é divergente.
Vamos analisar:
  1. Simplificando a função integranda:
    Portanto, a integral fica:
  2. Integral Não Imprópria: A função é contínua no intervalo exceto em . Mas, ao simplificar, a integral se torna , que é finita.
  3. Convergência: A integral converge para o valor 3.
Conclusão: A afirmação II é falsa porque a integral não é divergente, ela converge.

Passo 4

Afirmação III: A integral é imprópria e divergente.
Vamos analisar:
  1. Integral Imprópria: A integral é imprópria porque o limite superior de integração é .
  2. Comportamento da Função para :
    Sabemos que converge, pois .
  3. Convergência: Portanto, a integral também converge.
Conclusão: A afirmação III é falsa porque, apesar de ser imprópria, a integral converge.

Resposta

[F, F, F]

Exercícios relacionados

Considerando , determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
©
Leia com atenção as afirmações:
(I) A série de potências converge para ;
(II) O raio de convergência da série de potências é ;
(III) A expansão de , em torno do zero, é .
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
]FFF [ ] FVF [ ]
Leia com atenção as afirmações:
(I) Se converge absolutamente, então converge;
(II) Se converge, então converge;
(III) Existem séries alternadas que convergem, mas não convergem absolutamente, ou seja, são condicionalmente convergentes.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ]VVV [ ]FFF [ ]FVF [ ]VFF [ ]VVF [ ]FVV [ ]FFV [ ]VFV
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação para o valor de indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto )
© , com , para um valor genérico de