Leia com atenção as afirmações:
(I) A integral integral0^pi / 4 cotg x d x é imprópria e convergente;
(II) A integral integral0^3 e^ln xx d x não é imprópria, mas é divergente;
(III) A integral integral1^infty 1x^5+3 x+1 d x é imprópria e divergente;
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ]VVV [ ]FFF [ ]FVF [ ]VFF [ ]VVF [ ]FVV [ ]FFV [ ]VFV

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre integrais definidas e precisamos verificar se cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos usar conhecimentos sobre integrais impróprias, convergência e divergência.

Passo 2

Afirmação I: A integral lima to 0^+ integrala^pi / 4 cot(x) , dx = lima to 0^+ ln|sin(x)| gr|a^pi / 4 = ln(sin(pi4)) - lima to 0^+ ln(sin(a)) é imprópria e convergente.
Vamos analisar:
  1. Integral Imprópria: Uma integral é imprópria se houver um dos limites de integração tendendo ao infinito ou se a função integranda tiver descontinuidades no intervalo de integração.
  2. Função : Sabemos que . Essa função tem descontinuidade em porque , o que faz tender ao infinito.
  3. Convergência: Para verificar se a integral converge, precisamos calcular o limite:
    Sabemos que e . Portanto, a integral diverge.
Conclusão: A afirmação I é falsa porque, embora a integral seja imprópria, ela não converge.

Passo 3

Afirmação II: A integral e^ln(x) = x não é imprópria, mas é divergente.
Vamos analisar:
  1. Simplificando a função integranda:
    integral0^3 xx , dx = integral0^3 1 , dx = [x]0^3 = 3 - 0 = 3
    Portanto, a integral fica:
  2. Integral Não Imprópria: A função é contínua no intervalo exceto em . Mas, ao simplificar, a integral se torna , que é finita.
  3. Convergência: A integral converge para o valor 3.
Conclusão: A afirmação II é falsa porque a integral não é divergente, ela converge.

Passo 4

Afirmação III: A integral 1x^5 + 3x + 1 sim 1x^5 é imprópria e divergente.
Vamos analisar:
  1. Integral Imprópria: A integral é imprópria porque o limite superior de integração é .
  2. Comportamento da Função para :
    Sabemos que converge, pois .
  3. Convergência: Portanto, a integral também converge.
Conclusão: A afirmação III é falsa porque, apesar de ser imprópria, a integral converge.

Resposta

[F, F, F]

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