Leia com atenção as afirmações:
(I) Se
é uma sequência é convergente e limitada, então
é monótona;
(II) A sequência
é monótona e convergente;
(III) A sequência
é convergente.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
(I) Se
(II) A sequência
(III) A sequência
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três afirmações sobre sequências e precisa descobrir quais são verdadeiras ou falsas. Vamos usar conceitos de convergência, monotonicidade e limites de sequências para resolver isso.
Passo 2
Vamos analisar a Afirmação I: “Se
é uma sequência convergente e limitada, então
é monótona.”
Primeiro, convergente significa que a sequência se aproxima de um certo valor à medida que
cresce. Limitada quer dizer que os termos da sequência não saem de um intervalo específico. Monótona significa que a sequência é sempre crescente ou sempre decrescente.
Mas nem toda sequência convergente e limitada é necessariamente monótona. Por exemplo, a sequência
é convergente (vai para 0) e limitada (entre -1 e 1), mas não é monótona porque os sinais alternam.
Então, a Afirmação I é Falsa.
Passo 3
Agora, a Afirmação II: “A sequência
é monótona e convergente.”
Vamos entender essa sequência.
(fatorial de
) cresce muito rápido, mesmo mais rápido que
. Então,
cresce sem limites à medida que
aumenta. Além disso, para os primeiros termos, a sequência está crescendo porque cada termo é maior que o anterior.
Portanto, a sequência é monótona crescente, mas não é convergente porque vai para o infinito. Como ela não converge, a afirmação é Falsa.
Passo 4
Por último, a Afirmação III: “A sequência
é convergente.”
Vamos ver o que acontece com
quando
aumenta. O logaritmo natural
cresce, mas muito mais devagar que
. Então, o limite de
quando
vai para o infinito é 0.
Isso mostra que a sequência converge para 0.
Assim, a Afirmação III é Verdadeira.
Resposta
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é: F F V