Leia com atenção as afirmações:
(I) Se é uma sequência é convergente e limitada, então é monótona;
(II) A sequência é monótona e convergente;
(III) A sequência é convergente.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três afirmações sobre sequências e precisa descobrir quais são verdadeiras ou falsas. Vamos usar conceitos de convergência, monotonicidade e limites de sequências para resolver isso.

Passo 2

Vamos analisar a Afirmação I: “Se é uma sequência convergente e limitada, então é monótona.”
Primeiro, convergente significa que a sequência se aproxima de um certo valor à medida que cresce. Limitada quer dizer que os termos da sequência não saem de um intervalo específico. Monótona significa que a sequência é sempre crescente ou sempre decrescente.
Mas nem toda sequência convergente e limitada é necessariamente monótona. Por exemplo, a sequência é convergente (vai para 0) e limitada (entre -1 e 1), mas não é monótona porque os sinais alternam.
Então, a Afirmação I é Falsa.

Passo 3

Agora, a Afirmação II: “A sequência é monótona e convergente.”
Vamos entender essa sequência. (fatorial de ) cresce muito rápido, mesmo mais rápido que . Então, cresce sem limites à medida que aumenta. Além disso, para os primeiros termos, a sequência está crescendo porque cada termo é maior que o anterior.
Portanto, a sequência é monótona crescente, mas não é convergente porque vai para o infinito. Como ela não converge, a afirmação é Falsa.

Passo 4

Por último, a Afirmação III: “A sequência é convergente.”
Vamos ver o que acontece com quando aumenta. O logaritmo natural cresce, mas muito mais devagar que . Então, o limite de quando vai para o infinito é 0.
Isso mostra que a sequência converge para 0.
Assim, a Afirmação III é Verdadeira.

Resposta

A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é: F F V

Exercícios relacionados

Leia com atenção as afirmações:
(I) Se é uma solução implícita de uma EDO de ordem, então , também o é;
(II) A EDO é homogênea, mas não é linear;
(III) Um fator integrante para resolver a EDO é .
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação para o valor de indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto )
© , com , para um valor genérico de
Em cada um dos Problemas de 1 a 6 , use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma .
Considere as séries e , tais que e e leia com atenção as afirmações:
(I) Se , então ambas convergem;
(II) Se e se converge, então converge;
(III) Se e se diverge, então diverge.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ] FFF [ ] FVF [ ] VFF [ ] VVF [ ] FVV [ ]FFV [ ]