Leia com atenção as afirmações:
(I) Se
é uma solução implícita de uma EDO de
ordem, então
, também o é;
(II) A EDO
é homogênea, mas não é linear;
(III) Um fator integrante para resolver a EDO
é
.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
(I) Se
(II) A EDO
(III) Um fator integrante para resolver a EDO
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três afirmações sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem. Precisamos analisar cada uma delas para verificar se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para isso, vamos precisar conhecer conceitos como soluções implícitas, EDOs homogêneas, lineares e fatores integrantes.
Passo 2
Analisando a afirmação (I):
“Se é uma solução implícita de uma EDO de 1ª ordem, então
, também o é.”
“Se
Uma solução implícita
pode ser reescrita como
, onde
é uma constante real. Isso acontece porque, para cada valor de
, temos uma curva diferente que satisfaz a EDO. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação (II):
“A EDO é homogênea, mas não é linear.”
“A EDO
Primeiro, vamos lembrar que uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
. A equação dada pode ser reescrita como
, ou seja,
, o que se encaixa na forma linear. Além disso, uma EDO é homogênea se
. No caso,
após rearranjar a equação. Portanto, a EDO é linear e homogênea, o que contradiz a afirmação de que não é linear. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação (III):
“Um fator integrante para resolver a EDO é
.”
“Um fator integrante para resolver a EDO
Primeiro, vamos colocar a EDO na forma padrão
:
O fator integrante
para uma EDO linear é dado por:
Aqui,
, então:
Como estamos trabalhando com
, podemos escrever
. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é: