Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função
. O objetivo é analisar essa função usando Cálculo Diferencial. Para isso, a gente vai precisar calcular as derivadas primeira e segunda, que vão nos ajudar a determinar onde a função está crescendo ou diminuindo, sua concavidade, pontos de inflexão e também encontrar os pontos de máximo e mínimo locais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, onde ela está crescendo ou diminuindo.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos determinar onde a derivada é positiva ou negativa, o que vai nos dizer os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
A derivada
é sempre positiva porque o numerador
�� sempre positivo para todo
real (já que é uma soma de termos quadráticos) e o denominador
também é sempre positivo. Portanto, a função está sempre crescendo em todo o seu domínio.
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada segunda para analisar a concavidade e encontrar possíveis pontos de inflexão. A derivada segunda nos mostra a taxa de variação da derivada primeira, ou seja, se a função está “curvando para cima” ou “para baixo”.
Começamos derivando
:
Vamos aplicar a regra do quociente novamente:
Simplificando o numerador:
Isso pode ser simplificado, mas para facilitar, vamos analisar o sinal da derivada segunda.
Passo 5
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos encontrar onde
ou onde a derivada segunda não existe. No entanto, como o denominador
nunca é zero, só precisamos resolver
.
Após simplificação, encontramos que isso ocorre quando
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a concavidade:
- Para
, testando um valor como , encontramos que . Então, a função é côncava para cima nesse intervalo. - Para
, testando um valor como , encontramos que . Então, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo locais. Esses pontos ocorrem onde a derivada primeira é zero ou não existe. Mas, como vimos no Passo 3,
nunca é zero, apenas positiva.
Isso significa que a função não tem pontos de máximo ou mínimo locais, já que está sempre aumentando.
Resposta
A função
está sempre crescente em todo o seu domínio. Possui um ponto de inflexão em
, onde muda de concavidade: é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
. Não há pontos de máximo ou mínimo locais. O gráfico da função aumenta continuamente, mudando a curvatura no ponto de inflexão mencionado.
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Determine a derivada de primeira ordem e a derivada de segunda ordem da função definida por
.
Considere que a posição de uma partícula segue a lei
, onde
é dado em metros e
em segundos. Determine a velocidade e a aceleração em função de
; a aceleração no instante 2 segundos e a aceleração quando a velocidade é nula.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Calcule os seguintes limites usando as Regras de L
.