Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função . O objetivo é analisar essa função usando Cálculo Diferencial. Para isso, a gente vai precisar calcular as derivadas primeira e segunda, que vão nos ajudar a determinar onde a função está crescendo ou diminuindo, sua concavidade, pontos de inflexão e também encontrar os pontos de máximo e mínimo locais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, onde ela está crescendo ou diminuindo.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos determinar onde a derivada é positiva ou negativa, o que vai nos dizer os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
A derivada é sempre positiva porque o numerador �� sempre positivo para todo real (já que é uma soma de termos quadráticos) e o denominador também é sempre positivo. Portanto, a função está sempre crescendo em todo o seu domínio.

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada segunda para analisar a concavidade e encontrar possíveis pontos de inflexão. A derivada segunda nos mostra a taxa de variação da derivada primeira, ou seja, se a função está “curvando para cima” ou “para baixo”.
Começamos derivando :
Vamos aplicar a regra do quociente novamente:
Simplificando o numerador:
Isso pode ser simplificado, mas para facilitar, vamos analisar o sinal da derivada segunda.

Passo 5

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos encontrar onde ou onde a derivada segunda não existe. No entanto, como o denominador nunca é zero, só precisamos resolver .
Após simplificação, encontramos que isso ocorre quando .

Passo 6

Agora, vamos analisar a concavidade:
  • Para , testando um valor como , encontramos que . Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.
  • Para , testando um valor como , encontramos que . Então, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Portanto, há um ponto de inflexão em .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo locais. Esses pontos ocorrem onde a derivada primeira é zero ou não existe. Mas, como vimos no Passo 3, nunca é zero, apenas positiva.
Isso significa que a função não tem pontos de máximo ou mínimo locais, já que está sempre aumentando.

Resposta

A função está sempre crescente em todo o seu domínio. Possui um ponto de inflexão em , onde muda de concavidade: é côncava para cima quando e côncava para baixo quando . Não há pontos de máximo ou mínimo locais. O gráfico da função aumenta continuamente, mudando a curvatura no ponto de inflexão mencionado.

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Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Calcule os seguintes limites usando as Regras de L
.