Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos:
- Encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Analisar a concavidade da função e identificar pontos de inflexão.
- Determinar os pontos de máximo e mínimo locais.
- Desenhar o gráfico usando técnicas de Cálculo Diferencial.
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas primeiro e depois aplicar conceitos de crescimento, concavidade e extrema.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada de
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função.
Passo 3
Agora, para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal da primeira derivada
.
- Crescimento:
- Decrescimento:
Vamos resolver
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos testar os intervalos determinados pelo ponto crítico:
-
Para
: Escolha -
Para
: Escolha
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para estudar a concavidade.
Passo 6
Analisando a concavidade:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
Observando
, vemos que é sempre positiva para
. Portanto, a função é sempre côncava para cima e não possui pontos de inflexão.
Passo 7
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais, observamos os pontos críticos e usamos a primeira derivada:
- Em
, a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Vamos calcular o valor de
nesse ponto:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, vamos esboçar o gráfico:
- A função tem um mínimo local em
. - Para
, a função está decrescendo. - Para
, a função está crescendo. - A concavidade é sempre para cima.
- A função não está definida em
e tem uma assíntota vertical nesse ponto.
Resposta
A função
é decrescente no intervalo
e crescente em
. Ela é sempre côncava para cima e possui um ponto de mínimo local em
. O gráfico apresenta uma assíntota vertical em
e reflete essas características no esboço.
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Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Determine a derivada de primeira ordem e a derivada de segunda ordem da função definida por
.
Calcule os seguintes limites usando as Regras de L
.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.