Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos:
  1. Encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  2. Analisar a concavidade da função e identificar pontos de inflexão.
  3. Determinar os pontos de máximo e mínimo locais.
  4. Desenhar o gráfico usando técnicas de Cálculo Diferencial.
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas primeiro e depois aplicar conceitos de crescimento, concavidade e extrema.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada de . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função.

Passo 3

Agora, para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal da primeira derivada .
  • Crescimento:
  • Decrescimento:
Vamos resolver :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos testar os intervalos determinados pelo ponto crítico:
  1. Para : Escolha
  2. Para : Escolha

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para estudar a concavidade.

Passo 6

Analisando a concavidade:
  • Concavidade para cima:
  • Concavidade para baixo:
Observando , vemos que é sempre positiva para . Portanto, a função é sempre côncava para cima e não possui pontos de inflexão.

Passo 7

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais, observamos os pontos críticos e usamos a primeira derivada:
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Vamos calcular o valor de nesse ponto:
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, vamos esboçar o gráfico:
  • A função tem um mínimo local em .
  • Para , a função está decrescendo.
  • Para , a função está crescendo.
  • A concavidade é sempre para cima.
  • A função não está definida em e tem uma assíntota vertical nesse ponto.

Resposta

A função é decrescente no intervalo e crescente em . Ela é sempre côncava para cima e possui um ponto de mínimo local em . O gráfico apresenta uma assíntota vertical em e reflete essas características no esboço.

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Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Determine a derivada de primeira ordem e a derivada de segunda ordem da função definida por .
Calcule os seguintes limites usando as Regras de L
.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.