Calcule os seguintes limites usando as Regras de L
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria que entra aqui são os limites e a Regra de L’Hospital, que usamos quando temos formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞. Vamos precisar reescrever essa expressão para aplicar a regra.

Passo 2

Primeiro, vamos juntar as duas frações em uma só para facilitar a aplicação da Regra de L’Hospital:
Então, o limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar as funções no numerador e denominador quando x se aproxima de 0. Tanto o numerador ( ) quanto o denominador ( ) se aproximam de 0, o que nos dá uma forma 0/0. Isso significa que podemos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite agora fica:

Passo 5

Vamos verificar novamente o comportamento quando x se aproxima de 0:
  • Numerador:
  • Denominador:
Ainda temos uma forma 0/0, então aplicamos a Regra de L’Hospital de novo.

Passo 6

Derivando novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
O limite agora é:

Passo 7

Agora, substituímos x por 0:
  • Numerador:
  • Denominador:
Então, o limite é:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
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(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
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