Calcule os seguintes limites usando as Regras de L
lim x 0^+(1x-1sen x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0^+(1x-1sen x). A matéria que entra aqui são os limites e a Regra de L’Hospital, que usamos quando temos formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞. Vamos precisar reescrever essa expressão para aplicar a regra.

Passo 2

Primeiro, vamos juntar as duas frações em uma só para facilitar a aplicação da Regra de L’Hospital:
1x - 1sin x = sin x - xx cdot sin x
Então, o limite fica:
limx to 0^+ sin x - xx cdot sin x

Passo 3

Agora, vamos analisar as funções no numerador e denominador quando x se aproxima de 0. Tanto o numerador ( sin x - x) quanto o denominador ( x cdot sin x) se aproximam de 0, o que nos dá uma forma 0/0. Isso significa que podemos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
ddx (sin x - x) = cos x - 1
Derivada do denominador:
ddx (x cdot sin x) = sin x + x cdot cos x
Então, o limite agora fica:
limx to 0^+ cos x - 1sin x + x cdot cos x

Passo 5

Vamos verificar novamente o comportamento quando x se aproxima de 0:
  • Numerador: cos 0 - 1 = 1 - 1 = 0
  • Denominador: sin 0 + 0 cdot cos 0 = 0 + 0 = 0
Ainda temos uma forma 0/0, então aplicamos a Regra de L’Hospital de novo.

Passo 6

Derivando novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
ddx (cos x - 1) = -sin x
Derivada do denominador:
ddx (sin x + x cdot cos x) = cos x + cos x - x cdot sin x = 2cos x - x cdot sin x
O limite agora é:
limx to 0^+ -sin x 2cos x - x cdot sin x

Passo 7

Agora, substituímos x por 0:
  • Numerador: -sin 0 = 0
  • Denominador: 2cos 0 - 0 cdot sin 0 = 2 cdot 1 - 0 = 2
Então, o limite é:
02 = 0

Resposta

O limite lim x 0^+(1x-1sen x) é igual a 0.

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