Calcule os seguintes limites usando as Regras de L
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria que entra aqui são os limites e a Regra de L’Hospital, que usamos quando temos formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞. Vamos precisar reescrever essa expressão para aplicar a regra.
Passo 2
Primeiro, vamos juntar as duas frações em uma só para facilitar a aplicação da Regra de L’Hospital:
Então, o limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar as funções no numerador e denominador quando x se aproxima de 0. Tanto o numerador (
) quanto o denominador (
) se aproximam de 0, o que nos dá uma forma 0/0. Isso significa que podemos usar a Regra de L’Hospital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite agora fica:
Passo 5
Vamos verificar novamente o comportamento quando x se aproxima de 0:
- Numerador:
- Denominador:
Ainda temos uma forma 0/0, então aplicamos a Regra de L’Hospital de novo.
Passo 6
Derivando novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
O limite agora é:
Passo 7
Agora, substituímos x por 0:
- Numerador:
- Denominador:
Então, o limite é:
Resposta
O limite
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.