Considere que a posição de uma partícula segue a lei , onde é dado em metros e em segundos. Determine a velocidade e a aceleração em função de ; a aceleração no instante 2 segundos e a aceleração quando a velocidade é nula.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a função que descreve a posição de uma partícula: , onde está em metros e em segundos. Nosso objetivo é encontrar:
  1. A velocidade em função de .
  2. A aceleração em função de .
  3. A aceleração no instante de 2 segundos.
  4. A aceleração quando a velocidade é nula.
Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, que é a parte da matemática que nos ajuda a encontrar taxas de variação, como velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da função posição em relação a .
A função posição dada é:
Para encontrar a derivada dessa função, aplicamos a regra do poder:
Então, a velocidade em função de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da função velocidade em relação a .
Já temos a função velocidade:
Vamos derivar essa função:
Portanto, a aceleração em função de é:

Passo 4

Vamos calcular a aceleração no instante de 2 segundos. Para isso, substituímos na função da aceleração que encontramos.
A função aceleração é:
Substituindo :
Então, a aceleração no instante de 2 segundos é 12 metros por segundo ao quadrado.

Passo 5

Agora, queremos encontrar a aceleração quando a velocidade é nula. Primeiro, vamos descobrir para quais valores de a velocidade é zero.
A função velocidade é:
Vamos resolver :
Então, a velocidade é nula quando e .
Agora, vamos encontrar a aceleração nesses pontos usando a função aceleração:
Para :
Para :
Portanto, a aceleração quando a velocidade é nula é 6 metros por segundo ao quadrado em e -6 metros por segundo ao quadrado em .

Resposta

A velocidade em função de é , a aceleração em função de é . A aceleração no instante de 2 segundos é 12 m/s² e a aceleração quando a velocidade é nula é 6 m/s² em e -6 m/s² em .

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