Considere que a posição de uma partícula segue a lei
, onde
é dado em metros e
em segundos. Determine a velocidade e a aceleração em função de
; a aceleração no instante 2 segundos e a aceleração quando a velocidade é nula.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a função que descreve a posição de uma partícula:
, onde
está em metros e
em segundos. Nosso objetivo é encontrar:
- A velocidade em função de
. - A aceleração em função de
. - A aceleração no instante de 2 segundos.
- A aceleração quando a velocidade é nula.
Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, que é a parte da matemática que nos ajuda a encontrar taxas de variação, como velocidade e aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da função posição em relação a
.
A função posição dada é:
Para encontrar a derivada dessa função, aplicamos a regra do poder:
Então, a velocidade em função de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da função velocidade em relação a
.
Já temos a função velocidade:
Vamos derivar essa função:
Portanto, a aceleração em função de
é:
Passo 4
Vamos calcular a aceleração no instante de 2 segundos. Para isso, substituímos
na função da aceleração que encontramos.
A função aceleração é:
Substituindo
:
Então, a aceleração no instante de 2 segundos é 12 metros por segundo ao quadrado.
Passo 5
Agora, queremos encontrar a aceleração quando a velocidade é nula. Primeiro, vamos descobrir para quais valores de
a velocidade é zero.
A função velocidade é:
Vamos resolver
:
Então, a velocidade é nula quando
e
.
Agora, vamos encontrar a aceleração nesses pontos usando a função aceleração:
Para
:
Para
:
Portanto, a aceleração quando a velocidade é nula é 6 metros por segundo ao quadrado em
e -6 metros por segundo ao quadrado em
.
Resposta
A velocidade em função de
é
, a aceleração em função de
é
. A aceleração no instante de 2 segundos é 12 m/s² e a aceleração quando a velocidade é nula é 6 m/s² em
e -6 m/s² em
.
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. Mediante cálculo de limites, determine as assíntotas (verticais e horizontais).
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Determine a derivada de primeira ordem e a derivada de segunda ordem da função definida por
.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.