Determine a derivada de primeira ordem e a derivada de segunda ordem da função definida por f(x) = x / (x^2 - 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivada da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra do quociente, que é útil quando temos uma divisão de duas funções. Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função está na forma de um quociente, então usamos a regra do quociente, que diz:
Aqui, e . Vamos derivar e :
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada . Temos:
Vamos reescrever para facilitar a derivação:
Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos derivar cada parte:
Primeiro, derivamos :
Segundo, derivamos :
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Podemos fatorar e simplificar:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Simplificando o numerador novamente:

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

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