Determine a derivada de primeira ordem e a derivada de segunda ordem da função definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivada da função
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra do quociente, que é útil quando temos uma divisão de duas funções. Então, vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função está na forma de um quociente, então usamos a regra do quociente, que diz:
Aqui,
e
. Vamos derivar
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada
. Temos:
Vamos reescrever para facilitar a derivação:
Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos derivar cada parte:
Primeiro, derivamos
:
Segundo, derivamos
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Podemos fatorar
e simplificar:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Simplificando o numerador novamente:
Resposta
A primeira derivada é
e a segunda derivada é
.