Determine a derivada de primeira ordem e a derivada de segunda ordem da função definida por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivada da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra do quociente, que é útil quando temos uma divisão de duas funções. Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função está na forma de um quociente, então usamos a regra do quociente, que diz:
Aqui, e . Vamos derivar e :
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada . Temos:
Vamos reescrever para facilitar a derivação:
Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos derivar cada parte:
Primeiro, derivamos :
Segundo, derivamos :
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Podemos fatorar e simplificar:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Simplificando o numerador novamente:

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

Exercícios relacionados

Considere que a posição de uma partícula segue a lei , onde é dado em metros e em segundos. Determine a velocidade e a aceleração em função de ; a aceleração no instante 2 segundos e a aceleração quando a velocidade é nula.
Determine o domínio da função . Mediante cálculo de limites, determine as assíntotas (verticais e horizontais).
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.