Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.

Passo 1

Então, a gente tem a função e queremos analisar várias características dela usando Cálculo Diferencial. Vamos precisar calcular derivadas para descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo, entender sua concavidade, encontrar pontos de máximo e mínimo, e por fim, esboçar o gráfico com todas essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada de .
Sabemos que a derivada de é . Usando a regra do produto, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos ver onde é positiva ou negativa.
Vamos resolver :

Passo 4

Analisando o sinal de :
  • Para , , então → função decresce.
  • Para , , então → função cresce.

Passo 5

Agora, vamos estudar a concavidade da função. Para isso, calculamos a segunda derivada.
Sabemos que , então:

Passo 6

Analisando a segunda derivada :
  • Para , → função é côncava para cima.
  • Não há pontos onde dentro do domínio , então não tem pontos de inflexão.

Passo 7

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais, vamos olhar onde a primeira derivada muda de sinal.
Sabemos que em :
  • De decrescente para crescente.
Isso indica que temos um ponto de mínimo local em .
Calculando o valor da função nesse ponto:

Passo 8

Por fim, vamos esboçar o gráfico:
  • A função está definida para .
  • Ela decresce até , atingindo o mínimo em .
  • Depois, cresce indefinidamente.
  • A concavidade é sempre para cima, já que .

Resposta

A função é decrescente no intervalo e crescente em . Ela é côncava para cima em todo o seu domínio, possui um ponto de mínimo local em e seu gráfico reflete essas características.

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Calcule os seguintes limites usando as Regras de L
.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.