Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Passo 1
Então, a gente tem a função
e queremos analisar várias características dela usando Cálculo Diferencial. Vamos precisar calcular derivadas para descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo, entender sua concavidade, encontrar pontos de máximo e mínimo, e por fim, esboçar o gráfico com todas essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada de
.
Sabemos que a derivada de
é
. Usando a regra do produto, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos ver onde
é positiva ou negativa.
Vamos resolver
:
Passo 4
Analisando o sinal de
:
- Para
, , então → função decresce. - Para
, , então → função cresce.
Passo 5
Agora, vamos estudar a concavidade da função. Para isso, calculamos a segunda derivada.
Sabemos que
, então:
Passo 6
Analisando a segunda derivada
:
- Para
, → função é côncava para cima. - Não há pontos onde
dentro do domínio , então não tem pontos de inflexão.
Passo 7
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais, vamos olhar onde a primeira derivada muda de sinal.
Sabemos que em
:
- De decrescente para crescente.
Isso indica que temos um ponto de mínimo local em
.
Calculando o valor da função nesse ponto:
Passo 8
Por fim, vamos esboçar o gráfico:
- A função está definida para
. - Ela decresce até
, atingindo o mínimo em . - Depois, cresce indefinidamente.
- A concavidade é sempre para cima, já que
.
Resposta
A função
é decrescente no intervalo
e crescente em
. Ela é côncava para cima em todo o seu domínio, possui um ponto de mínimo local em
e seu gráfico reflete essas características.
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Calcule os seguintes limites usando as Regras de L
.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
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(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.