Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função . O que a gente precisa fazer aqui é:
  1. Encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo.
  2. Analisar a concavidade da função e identificar os pontos de inflexão.
  3. Determinar os pontos de máximo e mínimo locais.
  4. Esboçar o gráfico usando técnicas de Cálculo Diferencial.
Para isso, vamos usar derivadas: a primeira derivada para crescimento/decrescimento e extremações, e a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de para analisar onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de é:
Agora, vamos resolver para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Vamos tentar fatorar essa equação. Testando :
Então, é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando fatoração, obtemos:
Agora, fatorando :
Portanto, os pontos críticos são (com multiplicidade 2) e .

Passo 3

Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada. Dividimos a reta real pelos pontos críticos e .
Escolhemos pontos de teste em cada intervalo:
  1. , digamos :
  1. , digamos :
  1. , digamos :
Então:
  • A função está decrescendo em .
  • Crescendo em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para estudar a concavidade e os pontos de inflexão.
A primeira derivada é .
A segunda derivada é:
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos :
Vamos testar a concavidade em intervalos divididos por esses pontos:
  1. , por exemplo :
  1. , por exemplo :
  1. , por exemplo :
Então:
  • Concava para cima em e .
  • Concava para baixo em .
Os pontos de inflexão são e .

Passo 5

Vamos agora determinar os pontos de máximo e mínimo locais utilizando a primeira derivada.
Sabemos que:
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
  • Em , a derivada toca zero e permanece positiva, então não há máximo ou mínimo (ponto de inflexão com multiplicidade par).
Calculando o valor de nesses pontos:
  1. :
  1. :
Portanto, temos um mínimo local em .

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função utilizando as informações que obtivemos:
  • Interseção com o eixo Y: .
  • Pontos críticos: mínimo em , ponto de inflexão em .
  • Concavidade:
    • Concava para cima em e .
    • Concava para baixo em .
  • Crescimento:
    • Decrescendo em .
    • Crescendo em .
Com esses dados, podemos esboçar o gráfico da função, mostrando a curva descendo até o mínimo em , depois subindo e passando pelo ponto de inflexão em , continuando a subir para o infinito conforme aumenta.

Resposta

A função apresenta:
  1. Crescimento: em .
  2. Decrescimento: em .
  3. Concavidade:
    • Para cima em e .
    • Para baixo em .
  4. Pontos de inflexão: e .
  5. Mínimo local: em .
O esboço do gráfico reflete esses comportamentos conforme as análises realizadas.

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Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Calcule os seguintes limites usando as Regras de L
.
Para cada uma das funções abaixo
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(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
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Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa o e na tampa será utilizado material que custa . Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.