Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
. O que a gente precisa fazer aqui é:
- Encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Analisar a concavidade da função e identificar os pontos de inflexão.
- Determinar os pontos de máximo e mínimo locais.
- Esboçar o gráfico usando técnicas de Cálculo Diferencial.
Para isso, vamos usar derivadas: a primeira derivada para crescimento/decrescimento e extremações, e a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
para analisar onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de
é:
Agora, vamos resolver
para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Vamos tentar fatorar essa equação. Testando
:
Então,
é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando fatoração, obtemos:
Agora, fatorando
:
Portanto, os pontos críticos são
(com multiplicidade 2) e
.
Passo 3
Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada. Dividimos a reta real pelos pontos críticos
e
.
Escolhemos pontos de teste em cada intervalo:
-
, digamos :
-
, digamos :
-
, digamos :
Então:
- A função está decrescendo em
. - Crescendo em
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para estudar a concavidade e os pontos de inflexão.
A primeira derivada é
.
A segunda derivada é:
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos
:
Vamos testar a concavidade em intervalos divididos por esses pontos:
-
, por exemplo :
-
, por exemplo :
-
, por exemplo :
Então:
- Concava para cima em
e . - Concava para baixo em
.
Os pontos de inflexão são
e
.
Passo 5
Vamos agora determinar os pontos de máximo e mínimo locais utilizando a primeira derivada.
Sabemos que:
- Em
, a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local. - Em
, a derivada toca zero e permanece positiva, então não há máximo ou mínimo (ponto de inflexão com multiplicidade par).
Calculando o valor de
nesses pontos:
-
:
-
:
Portanto, temos um mínimo local em
.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
utilizando as informações que obtivemos:
- Interseção com o eixo Y:
. - Pontos críticos: mínimo em
, ponto de inflexão em . - Concavidade:
- Concava para cima em
e . - Concava para baixo em
.
- Concava para cima em
- Crescimento:
- Decrescendo em
. - Crescendo em
.
- Decrescendo em
Com esses dados, podemos esboçar o gráfico da função, mostrando a curva descendo até o mínimo em
, depois subindo e passando pelo ponto de inflexão em
, continuando a subir para o infinito conforme
aumenta.
Resposta
A função
apresenta:
- Crescimento: em
. - Decrescimento: em
. - Concavidade:
- Para cima em
e . - Para baixo em
.
- Para cima em
- Pontos de inflexão:
e . - Mínimo local: em
.
O esboço do gráfico reflete esses comportamentos conforme as análises realizadas.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Calcule os seguintes limites usando as Regras de L
.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de
de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa
o
e na tampa será utilizado material que custa
. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.