Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que analisar a função e descobrir várias coisas sobre ela usando o Cálculo Diferencial. Vamos precisar saber como derivar funções, entender o que dizem as derivadas sobre crescimento, concavidade e pontos especiais no gráfico. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos achar a primeira derivada de .
A derivada de usando a regra do produto é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde ou onde a derivada não existe, para identificar possíveis mudanças no comportamento da função.
Como nunca é zero, a gente resolve:

Passo 4

Vamos analisar o sinal de nos intervalos definidos por esses pontos críticos ( e ) para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para : Escolha
  • Para : Escolha
  • Para : Escolha

Passo 5

Agora, vamos estudar a concavidade da função e encontrar possíveis pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada de .
Primeiro, lembrando que . Vamos derivar novamente:

Passo 6

Vamos encontrar onde para identificar possíveis pontos de inflexão.
Como nunca é zero, resolvemos:
Usando a fórmula quadrática:
Então, os pontos críticos para a concavidade são e .

Passo 7

Vamos analisar o sinal de nos intervalos definidos por esses pontos para determinar a concavidade.
  • Para : ⇒ Concava para cima
  • Para : ⇒ Concava para baixo
  • Para : ⇒ Concava para cima

Passo 8

Vamos identificar os pontos de máximo e mínimo locais usando os pontos críticos da primeira derivada.
  • Em :
    • Mudança de Crescente para Decrescente ⇒ Máximo Local
  • Em :
    • Mudança de Decrescente para Crescente ⇒ Mínimo Local
Vamos calcular os valores de nesses pontos:

Passo 9

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função usando todas as informações que encontramos:
  • Crescimento: e
  • Decrescimento:
  • Concavidade: Para cima em e ; Para baixo em
  • Pontos de Máximo e Mínimo:
    • Máximo Local em
    • Mínimo Local em
  • Pontos de Inflexão:

Resposta

A função é crescente nos intervalos e , decrescente em . A concavidade é para cima em e , e para baixo em . Possui um máximo local em com e um mínimo local em com . O gráfico apresenta pontos de inflexão em .

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Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa o e na tampa será utilizado material que custa . Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.