Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que analisar a função
e descobrir várias coisas sobre ela usando o Cálculo Diferencial. Vamos precisar saber como derivar funções, entender o que dizem as derivadas sobre crescimento, concavidade e pontos especiais no gráfico. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos achar a primeira derivada de
.
A derivada de
usando a regra do produto é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde
ou onde a derivada não existe, para identificar possíveis mudanças no comportamento da função.
Como
nunca é zero, a gente resolve:
Passo 4
Vamos analisar o sinal de
nos intervalos definidos por esses pontos críticos (
e
) para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Para
: Escolha -
Para
: Escolha -
Para
: Escolha
Passo 5
Agora, vamos estudar a concavidade da função e encontrar possíveis pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada de
.
Primeiro, lembrando que
. Vamos derivar novamente:
Passo 6
Vamos encontrar onde
para identificar possíveis pontos de inflexão.
Como
nunca é zero, resolvemos:
Usando a fórmula quadrática:
Então, os pontos críticos para a concavidade são
e
.
Passo 7
Vamos analisar o sinal de
nos intervalos definidos por esses pontos para determinar a concavidade.
- Para
: ⇒ Concava para cima - Para
: ⇒ Concava para baixo - Para
: ⇒ Concava para cima
Passo 8
Vamos identificar os pontos de máximo e mínimo locais usando os pontos críticos da primeira derivada.
-
Em
: - Mudança de Crescente para Decrescente ⇒ Máximo Local
-
Em
: - Mudança de Decrescente para Crescente ⇒ Mínimo Local
Vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Passo 9
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função usando todas as informações que encontramos:
- Crescimento:
e - Decrescimento:
- Concavidade: Para cima em
e ; Para baixo em - Pontos de Máximo e Mínimo:
- Máximo Local em
- Mínimo Local em
- Máximo Local em
- Pontos de Inflexão:
Resposta
A função
é crescente nos intervalos
e
, decrescente em
. A concavidade é para cima em
e
, e para baixo em
. Possui um máximo local em
com
e um mínimo local em
com
. O gráfico apresenta pontos de inflexão em
.
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(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
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Para cada uma das funções abaixo
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(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
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(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de
de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa
o
e na tampa será utilizado material que custa
. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
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