Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde
cresce e onde
decresce.
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.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa analisar a função
para descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Isso envolve o cálculo da derivada da função e verificar onde essa derivada é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função. Usamos as regras básicas de derivação:
Passo 3
Calculando cada derivada separadamente:
Para a segunda parte, lembrando que
, então:
Portanto, a derivada completa é:
Passo 4
Agora, vamos determinar onde
é positiva ou negativa. Isso nos dirá onde a função está crescendo ou decrescendo.
Para resolver essas inequações, vamos encontrar os pontos onde
:
Como
é sempre positivo ou zero, não há solução real para essa equação. Isso significa que a derivada nunca é zero, então a função não tem pontos de máximo ou mínimo.
Passo 5
Vamos analisar o sinal de
em diferentes intervalos. Como a derivada não se anula, vamos testar valores em intervalos onde
e
.
Para
:
Portanto, a função é crescente quando
.
Para
:
Portanto, a função é decrescente quando
.
Resposta
A função
é decrescente para todos os
e crescente para todos os
.