Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde f cresce e onde f decresce.
© f(x) = x^2 - 3/x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa analisar a função para descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Isso envolve o cálculo da derivada da função e verificar onde essa derivada é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função. Usamos as regras básicas de derivação:

Passo 3

Calculando cada derivada separadamente:
Para a segunda parte, lembrando que , então:
Portanto, a derivada completa é:

Passo 4

Agora, vamos determinar onde é positiva ou negativa. Isso nos dirá onde a função está crescendo ou decrescendo.
Para resolver essas inequações, vamos encontrar os pontos onde :
Como é sempre positivo ou zero, não há solução real para essa equação. Isso significa que a derivada nunca é zero, então a função não tem pontos de máximo ou mínimo.

Passo 5

Vamos analisar o sinal de em diferentes intervalos. Como a derivada não se anula, vamos testar valores em intervalos onde e .
Para :
Portanto, a função é crescente quando .
Para :
Portanto, a função é decrescente quando .

Resposta

A função é decrescente para todos os e crescente para todos os .

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