Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(h) lim x 5 raizx-1-2x^2-25

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando a regra de L’Hôpital. O enunciado pede para calcular . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e quando podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é usada quando temos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece no numerador e no denominador quando se aproxima de 5. Substituindo :
  • Numerador:
  • Denominador:
Como obtemos , temos uma forma indeterminada, o que nos permite usar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) resulta em uma forma ou , então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Ou seja:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: f'(x) = 12raizx-1
    A derivada de g'(x) = 2x é e a derivada de 2 é 0. Então:
  • Derivada do denominador:
    A derivada de é e a derivada de 25 é 0. Então:

Passo 5

Agora aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
limx to 5 f'(x)g'(x) = limx to 5 12raizx-12x = limx to 5 14xraizx-1
Agora, substituímos 14 cdot 5 cdot raiz5-1 = 120 cdot 2 = 140 :

Resposta

O limite é .

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