Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde
cresce e onde
decresce.
(b)
(b)
Passo 1
Então, a gente precisa descobrir onde a função
está aumentando (crescendo) e onde está diminuindo (decrescendo). Esse tipo de problema cai na área de Cálculo, mais especificamente no estudo das derivadas, que ajudam a entender como uma função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função, que é
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, se ela está subindo ou descendo.
Para derivar
, vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
. Então:
Aplicando a regra:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, precisamos determinar onde ela é positiva ou negativa.
- Quando
: A função está crescendo. - Quando
: A função está decrescendo.
O denominador
é sempre positivo, já que é o quadrado de uma expressão que nunca é negativa. Assim, o sinal da derivada depende apenas do numerador
.
Vamos resolver a inequação
:
Então, a derivada é positiva quando
está entre -1 e 1.
Passo 4
Agora, vamos ver quando a derivada é negativa, ou seja, quando
:
Portanto, a derivada é negativa quando
é menor que -1 ou maior que 1.
Resposta
A função
está crescendo no intervalo
e decrescendo nos intervalos
e
.
Exercícios relacionados
Encontre um número
tal que
e que a reta tangente ao gráfico de cada função
em
seja paralela à secante que passa pelos os pontos
e
. Esboce o gráfico de
e mostre a tangente e a secante.
©
©
Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(e) .
(e)
Explique por que você não pode dirigir da cidade
para a cidade
numa velocidade média de 55 quilômetros por hora a não ser que, em algum instante ao longo do caminho, você esteja exatamente a 55 quilômetros por hora.
Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde
cresce e onde
decresce.
© .
©