Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde cresce e onde decresce.
(b)

Passo 1

Então, a gente precisa descobrir onde a função está aumentando (crescendo) e onde está diminuindo (decrescendo). Esse tipo de problema cai na área de Cálculo, mais especificamente no estudo das derivadas, que ajudam a entender como uma função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função, que é . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, se ela está subindo ou descendo.
Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de é .
Aqui, e . Então:
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora que temos a derivada , precisamos determinar onde ela é positiva ou negativa.
  • Quando : A função está crescendo.
  • Quando : A função está decrescendo.
O denominador é sempre positivo, já que é o quadrado de uma expressão que nunca é negativa. Assim, o sinal da derivada depende apenas do numerador .
Vamos resolver a inequação :
Então, a derivada é positiva quando está entre -1 e 1.

Passo 4

Agora, vamos ver quando a derivada é negativa, ou seja, quando :
Portanto, a derivada é negativa quando é menor que -1 ou maior que 1.

Resposta

A função está crescendo no intervalo e decrescendo nos intervalos e .

Exercícios relacionados

Encontre um número tal que e que a reta tangente ao gráfico de cada função em seja paralela à secante que passa pelos os pontos e . Esboce o gráfico de e mostre a tangente e a secante.
©
Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(e) .
Explique por que você não pode dirigir da cidade para a cidade numa velocidade média de 55 quilômetros por hora a não ser que, em algum instante ao longo do caminho, você esteja exatamente a 55 quilômetros por hora.
Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde cresce e onde decresce.
© .