Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde f cresce e onde f decresce.
(b) f(x) = x / (1 + x^2)

Passo 1

Então, a gente precisa descobrir onde a função está aumentando (crescendo) e onde está diminuindo (decrescendo). Esse tipo de problema cai na área de Cálculo, mais especificamente no estudo das derivadas, que ajudam a entender como uma função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função, que é . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, se ela está subindo ou descendo.
Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de é .
Aqui, e . Então:
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora que temos a derivada , precisamos determinar onde ela é positiva ou negativa.
  • Quando : A função está crescendo.
  • Quando : A função está decrescendo.
O denominador é sempre positivo, já que é o quadrado de uma expressão que nunca é negativa. Assim, o sinal da derivada depende apenas do numerador .
Vamos resolver a inequação :
Então, a derivada é positiva quando está entre -1 e 1.

Passo 4

Agora, vamos ver quando a derivada é negativa, ou seja, quando :
Portanto, a derivada é negativa quando é menor que -1 ou maior que 1.

Resposta

A função está crescendo no intervalo e decrescendo nos intervalos e .

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