Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde
cresce e onde
decresce.
(a)
.
(b)
©
.
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa descobrir em quais intervalos cada função está crescendo ou decrescendo. O conteúdo envolve cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como as funções se comportam. Vamos precisar calcular a derivada de cada função e analisar onde essa derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
(a)
Primeiro, vamos encontrar a derivada dessa função. A derivada nos diz a taxa de variação da função.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Esses pontos críticos dividem a reta real em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a derivada é positiva ou negativa:
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está crescente nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está decrescente nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está decrescente nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está crescente nesse intervalo. - Escolha
Passo 5
Agora, vamos para a próxima função:
(b)
Vamos seguir os mesmos passos: calcular a derivada, encontrar os pontos críticos e testar os intervalos.
Passo 6
Primeiro, calculamos a derivada usando a regra do quociente:
Passo 7
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 8
Dividimos a reta real em intervalos e testamos a derivada:
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está decrescente nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está crescente nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está decrescente nesse intervalo. - Escolha
Passo 9
Vamos para a terceira função:
©
Vamos calcular a derivada, encontrar os pontos críticos e analisar os intervalos.
Passo 10
Calculamos a derivada de
:
Passo 11
Igualamos a derivada a zero:
Aqui, não há soluções reais, pois
é sempre positivo ou zero, e não pode igualar a
.
Passo 12
Como não há pontos críticos, a derivada não muda de sinal. Vamos analisar o sinal da derivada em qualquer ponto para determinar o comportamento da função.
- Escolha
:
Isso indica que a derivada é sempre positiva para
.
Passo 13
Vamos para a última função:
(d)
Vamos calcular a derivada, determinar os pontos críticos e analisar os intervalos.
Passo 14
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Passo 15
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar as frações:
Portanto,
ou
:
Passo 16
Dividimos a reta real em intervalos e testamos a derivada:
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está decrescendo nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está crescendo nesse intervalo. - Escolha
Resposta
Para a função
:
- Cresce no intervalo
. - Decresce no intervalo
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Então
e
(a) Descreva o domínio da função
.
Encontre um número
tal que
e que a reta tangente ao gráfico de cada função
em
seja paralela à secante que passa pelos os pontos
e
. Esboce o gráfico de
e mostre a tangente e a secante.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Considere a função
. Então
e
© Encontre as assintotas horizontais e verticais, caso existam.
Seja
tal que
. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que
. Deduza que
.