Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde f cresce e onde f decresce.
(a) f(x) = x + 1/x.
(b) f(x) = x / (1 + x^2)
© f(x) = x^2 - 3/x^2.
(d) f(x) = raiz(x) + 4/x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa descobrir em quais intervalos cada função está crescendo ou decrescendo. O conteúdo envolve cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como as funções se comportam. Vamos precisar calcular a derivada de cada função e analisar onde essa derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
(a)
Primeiro, vamos encontrar a derivada dessa função. A derivada nos diz a taxa de variação da função.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Esses pontos críticos dividem a reta real em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a derivada é positiva ou negativa:
  1. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está crescente nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está decrescente nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está decrescente nesse intervalo.
  4. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está crescente nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos para a próxima função:
(b)
Vamos seguir os mesmos passos: calcular a derivada, encontrar os pontos críticos e testar os intervalos.

Passo 6

Primeiro, calculamos a derivada usando a regra do quociente:

Passo 7

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 8

Dividimos a reta real em intervalos e testamos a derivada:
  1. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está decrescente nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está crescente nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está decrescente nesse intervalo.

Passo 9

Vamos para a terceira função:
©
Vamos calcular a derivada, encontrar os pontos críticos e analisar os intervalos.

Passo 10

Calculamos a derivada de :

Passo 11

Igualamos a derivada a zero:
Aqui, não há soluções reais, pois é sempre positivo ou zero, e não pode igualar a .

Passo 12

Como não há pontos críticos, a derivada não muda de sinal. Vamos analisar o sinal da derivada em qualquer ponto para determinar o comportamento da função.
  • Escolha :
Isso indica que a derivada é sempre positiva para .

Passo 13

Vamos para a última função:
(d)
Vamos calcular a derivada, determinar os pontos críticos e analisar os intervalos.

Passo 14

Primeiro, encontramos a derivada de :

Passo 15

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar as frações:
Portanto, ou :
ãáí

Passo 16

Dividimos a reta real em intervalos e testamos a derivada:
  1. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está decrescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está crescendo nesse intervalo.

Resposta

Para a função :
  • Cresce no intervalo .
  • Decresce no intervalo .

Exercícios relacionados

Considere a função f(x) = (2 - x^2) / (x^2 - 4). Então f'(x) = 4x / (x^2 - 4)^2 e f''(x) = -4(3x^2 + 4) / (x^2 - 4)^3 (a) Descreva o domínio da função f.
Encontre um número c tal que a < c < b e que a reta tangente ao gráfico de cada função f em (c, f(c)) seja paralela à secante que passa pelos os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Esboce o gráfico de f e mostre a tangente e a secante.
(a) f(x) = x^2, a = 2, b = 4
(b) f(x) = raiz(x), a = 4, b = 9
© f(x) = x^3, a = 1, b = 3
Considere a função f(x) = (2 - x^2) / (x^2 - 4). Então f'(x) = 4x / (x^2 - 4)^2 e f''(x) = -4(3x^2 + 4) / (x^2 - 4)^3 © Encontre as assintotas horizontais e verticais, caso existam.
Seja f: R -> R tal que f(x) = sen x. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que |sen x - sen y| <= |x - y| para todo x, y em R. Deduza que |sen(x)| <= |x| para todo x em R.