Considere a função f(x) = (2 - x^2) / (x^2 - 4). Então f'(x) = 4x / (x^2 - 4)^2 e f''(x) = -4(3x^2 + 4) / (x^2 - 4)^3 © Encontre as assintotas horizontais e verticais, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar as assíntotas horizontais e verticais dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de limites e análise de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, mas o numerador não é zero ao mesmo tempo. Então, vamos resolver a equação:
Agora, verificamos se o numerador também é zero nesses pontos:
Para :
Para :
Como o numerador não é zero em , temos duas assíntotas verticais em e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus do polinômio no numerador e no denominador.
  • Se o grau do numerador for igual ao grau do denominador, a assíntota é a razão dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador for menor, a assíntota horizontal é .
  • Se o grau do numerador for maior, não há assíntota horizontal (pode ter assíntota oblíqua).
No nosso caso, o grau do numerador é 2 e o grau do denominador também é 2. Então, a assíntota horizontal será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
O coeficiente de no numerador é -1 e no denominador é 1. Portanto:
Então, temos uma assíntota horizontal em .

Resposta

A função possui assíntotas verticais em e e uma assíntota horizontal em .

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