Seja f: R -> R tal que f(x) = sen x. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que |sen x - sen y| <= |x - y| para todo x, y em R. Deduza que |sen(x)| <= |x| para todo x em R.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que para todos os números reais e , usando o Teorema do Valor Médio. Depois, vamos deduzir que para todo real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio (TVM). Esse teorema diz que se uma função é contínua no intervalo e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em tal que:
No nosso caso, a função é contínua e diferenciável em todo , então podemos aplicar o TVM.

Passo 3

Vamos aplicar o TVM para os pontos e na função . Sem perda de generalidade, suponha que . Segundo o TVM, existe um ponto entre e tal que:
Sabemos que a derivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos tirar o módulo dos dois lados da equação:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Sabemos que para todo real, pois o cosseno nunca ultrapassa 1 em módulo. Portanto:

Passo 5

Para deduzir que para todo real, vamos considerar o caso especial onde . Substituindo na desigualdade que mostramos:
Como , temos:

Resposta

Portanto, usando o Teorema do Valor Médio, mostramos que para todos os e deduzimos que para todo .

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