Encontre um número
tal que
e que a reta tangente ao gráfico de cada função
em
seja paralela à secante que passa pelos os pontos
e
. Esboce o gráfico de
e mostre a tangente e a secante.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Ok, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e dois pontos específicos no gráfico dessa função: quando
e
. A gente precisa encontrar um número
entre 2 e 4 (
) tal que a reta que toca o gráfico de
em
seja paralela à reta que liga os pontos
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, que nos ajuda a encontrar um ponto onde a inclinação da tangente é igual à inclinação da secante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os valores de
nos pontos
e
:
Então, temos os pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inclinação da secante que passa por esses dois pontos. A inclinação
de uma reta que liga dois pontos
e
é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Então, a inclinação da secante é 6.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada da função
para determinar a inclinação da tangente em qualquer ponto
:
A inclinação da tangente no ponto
é
.
Passo 5
Queremos que a inclinação da tangente seja igual à inclinação da secante. Portanto, igualamos as duas inclinações:
Agora, resolvemos para
:
Então, encontramos que
.
Resposta
O número
que satisfaz as condições do exercício é
.
Gráfico
Embora eu não possa desenhar aqui, você pode imaginar o gráfico de
com uma curva parabólica. A secante liga os pontos
e
. A tangente em
toca o ponto
e é paralela à secante, ambas com inclinação 6.
Exercícios relacionados
Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
.
Considere a função
. Então
e
(a) Descreva o domínio da função
.
Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde
cresce e onde
decresce.
(a) .
(b)
© .
(d) .
(a)
(b)
©
(d)