Encontre um número c tal que a < c < b e que a reta tangente ao gráfico de cada função f em (c, f(c)) seja paralela à secante que passa pelos os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Esboce o gráfico de f e mostre a tangente e a secante.
(a) f(x) = x^2, a = 2, b = 4
(b) f(x) = raiz(x), a = 4, b = 9
© f(x) = x^3, a = 1, b = 3

Passo 1

Ok, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e dois pontos específicos no gráfico dessa função: quando e . A gente precisa encontrar um número entre 2 e 4 ( ) tal que a reta que toca o gráfico de em seja paralela à reta que liga os pontos e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, que nos ajuda a encontrar um ponto onde a inclinação da tangente é igual à inclinação da secante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores de nos pontos e :
Então, temos os pontos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da secante que passa por esses dois pontos. A inclinação de uma reta que liga dois pontos e é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Então, a inclinação da secante é 6.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da tangente em qualquer ponto :
A inclinação da tangente no ponto é .

Passo 5

Queremos que a inclinação da tangente seja igual à inclinação da secante. Portanto, igualamos as duas inclinações:
Agora, resolvemos para :
Então, encontramos que .

Resposta

O número que satisfaz as condições do exercício é .

Gráfico

Embora eu não possa desenhar aqui, você pode imaginar o gráfico de com uma curva parabólica. A secante liga os pontos e . A tangente em toca o ponto e é paralela à secante, ambas com inclinação 6.

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Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde f cresce e onde f decresce.
(a) f(x) = x + 1/x.
(b) f(x) = x / (1 + x^2)
© f(x) = x^2 - 3/x^2.
(d) f(x) = raiz(x) + 4/x.