Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(e) .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício que pede para encontrar o número conforme o Teorema do Valor Médio (TVM) para a função no intervalo de a . Vamos precisar entender o que é o TVM e como aplicá-lo nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um número em tal que:
Nossa função é contínua e diferenciável no intervalo porque dentro desse intervalo , garantindo que a raiz quadrada está definida.

Passo 3

Vamos identificar os valores de e :
Agora, calculamos e :

Passo 4

Em seguida, calculamos a taxa de variação média da função no intervalo :
De acordo com o TVM, existe um onde a derivada de em é igual a .

Passo 5

Vamos encontrar a derivada de :

Passo 6

Agora, igualamos a derivada a :
Podemos cancelar os sinais negativos:

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por :
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 8

Multiplicamos ambos os lados por 49 para eliminar a fração:
Somamos em ambos os lados:
Dividimos ambos os lados por 50:

Passo 9

Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

O número que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função dada no intervalo é:

Exercícios relacionados

Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
© .
Encontre um número tal que e que a reta tangente ao gráfico de cada função em seja paralela à secante que passa pelos os pontos e . Esboce o gráfico de e mostre a tangente e a secante.
(b)
Encontre um número tal que e que a reta tangente ao gráfico de cada função em seja paralela à secante que passa pelos os pontos e . Esboce o gráfico de e mostre a tangente e a secante.
©
Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde cresce e onde decresce.
(b)