Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício que pede para encontrar o número
conforme o Teorema do Valor Médio (TVM) para a função
no intervalo de
a
. Vamos precisar entender o que é o TVM e como aplicá-lo nessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função
é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um número
em
tal que:
Nossa função
é contínua e diferenciável no intervalo
porque dentro desse intervalo
, garantindo que a raiz quadrada está definida.
Passo 3
Vamos identificar os valores de
e
:
Agora, calculamos
e
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a taxa de variação média da função no intervalo
:
De acordo com o TVM, existe um
onde a derivada de
em
é igual a
.
Passo 5
Vamos encontrar a derivada de
:
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a
:
Podemos cancelar os sinais negativos:
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados por
:
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 8
Multiplicamos ambos os lados por 49 para eliminar a fração:
Somamos
em ambos os lados:
Dividimos ambos os lados por 50:
Passo 9
Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função dada no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
© .
©
Encontre um número
tal que
e que a reta tangente ao gráfico de cada função
em
seja paralela à secante que passa pelos os pontos
e
. Esboce o gráfico de
e mostre a tangente e a secante.
(b)
(b)
Encontre um número
tal que
e que a reta tangente ao gráfico de cada função
em
seja paralela à secante que passa pelos os pontos
e
. Esboce o gráfico de
e mostre a tangente e a secante.
©
©
Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde
cresce e onde
decresce.
(b)
(b)