Encontre um número tal que e que a reta tangente ao gráfico de cada função em seja paralela à secante que passa pelos os pontos e . Esboce o gráfico de e mostre a tangente e a secante.
©

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar um número tal que . Além disso, a reta tangente ao gráfico de no ponto deve ser paralela à secante que passa pelos pontos e .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente a uma função em um ponto específico. Também vamos calcular a inclinação da secante entre dois pontos para igualar as duas inclinações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores de e , onde e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da secante que passa pelos pontos e . A inclinação de uma reta que passa por dois pontos e é dada por:
Aplicando os valores:
Então, a inclinação da secante é 13.

Passo 4

Agora, queremos que a reta tangente ao gr��fico de em tenha a mesma inclinação da secante, ou seja, 13. A inclinação da reta tangente é dada pela derivada de em , .
Vamos calcular a derivada de :
Igualando a derivada à inclinação desejada:

Passo 5

Resolvendo a equação para :
Como está entre 1 e 3, essa solução é válida.

Resposta

O número que satisfaz as condições da questão é aproximadamente igual a 2,0817.

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Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(e) .
Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
© .
Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde cresce e onde decresce.
(b)
Explique por que você não pode dirigir da cidade para a cidade numa velocidade média de 55 quilômetros por hora a não ser que, em algum instante ao longo do caminho, você esteja exatamente a 55 quilômetros por hora.