Encontre um número c tal que a < c < b e que a reta tangente ao gráfico de cada função f em (c, f(c)) seja paralela à secante que passa pelos os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Esboce o gráfico de f e mostre a tangente e a secante.
© f(x) = x^3, a = 1, b = 3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar um número tal que . Além disso, a reta tangente ao gráfico de no ponto deve ser paralela à secante que passa pelos pontos e .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente a uma função em um ponto específico. Também vamos calcular a inclinação da secante entre dois pontos para igualar as duas inclinações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores de e , onde e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da secante que passa pelos pontos e . A inclinação de uma reta que passa por dois pontos e é dada por:
Aplicando os valores:
Então, a inclinação da secante é 13.

Passo 4

Agora, queremos que a reta tangente ao gr��fico de em tenha a mesma inclinação da secante, ou seja, 13. A inclinação da reta tangente é dada pela derivada de em , .
Vamos calcular a derivada de :
Igualando a derivada à inclinação desejada:

Passo 5

Resolvendo a equação para :
Como está entre 1 e 3, essa solução é válida.

Resposta

O número que satisfaz as condições da questão é aproximadamente igual a 2,0817.

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