Encontre um número
tal que
e que a reta tangente ao gráfico de cada função
em
seja paralela à secante que passa pelos os pontos
e
. Esboce o gráfico de
e mostre a tangente e a secante.
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar um número
tal que
. Além disso, a reta tangente ao gráfico de
no ponto
deve ser paralela à secante que passa pelos pontos
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente a uma função em um ponto específico. Também vamos calcular a inclinação da secante entre dois pontos para igualar as duas inclinações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os valores de
e
, onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inclinação da secante que passa pelos pontos
e
. A inclinação
de uma reta que passa por dois pontos
e
é dada por:
Aplicando os valores:
Então, a inclinação da secante é 13.
Passo 4
Agora, queremos que a reta tangente ao gr��fico de
em
tenha a mesma inclinação da secante, ou seja, 13. A inclinação da reta tangente é dada pela derivada de
em
,
.
Vamos calcular a derivada de
:
Igualando a derivada à inclinação desejada:
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Como
está entre 1 e 3, essa solução é válida.
Resposta
O número
que satisfaz as condições da questão é
aproximadamente igual a 2,0817.