Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde f cresce e onde f decresce.
(d) f(x) = raiz(x) + 4/x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos descobrir em quais intervalos a função está crescendo e decrescendo. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, para saber se a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a sua derivada, . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de .
A derivada de é:
A derivada de é:
Então, a derivada total é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar onde para identificar os pontos críticos e onde a derivada não está definida.
Vamos resolver essa equação para .

Passo 5

Vamos igualar os dois termos:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Isso nos dá ou . Como não está no domínio da função original, ignoramos essa solução. Resolvendo :

Passo 6

Agora, temos um ponto crítico em . Vamos analisar os intervalos definidos por esse ponto para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Os intervalos são:

Passo 7

Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e substituímos na derivada para verificar o sinal.
Para , vamos escolher :
(negativo)
Para , vamos escolher :
(positivo)

Passo 8

Com base nos sinais da derivada:
  • No intervalo , , então a função está decrescendo.
  • No intervalo , , então a função está crescendo.

Resposta

A função está:
  • Decrescendo no intervalo .
  • Crescendo no intervalo .

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