Para cada uma das funções abaixo determine os intervalos onde
cresce e onde
decresce.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos descobrir em quais intervalos a função
está crescendo e decrescendo. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, para saber se a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a sua derivada,
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
.
A derivada de
é:
A derivada de
é:
Então, a derivada total é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar onde
para identificar os pontos críticos e onde a derivada não está definida.
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 5
Vamos igualar os dois termos:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Isso nos dá
ou
. Como
não está no domínio da função original, ignoramos essa solução. Resolvendo
:
Passo 6
Agora, temos um ponto crítico em
. Vamos analisar os intervalos definidos por esse ponto para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Os intervalos são:
Passo 7
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e substituímos na derivada para verificar o sinal.
Para
, vamos escolher
:
Para
, vamos escolher
:
Passo 8
Com base nos sinais da derivada:
- No intervalo
, , então a função está decrescendo. - No intervalo
, , então a função está crescendo.
Resposta
A função
está:
- Decrescendo no intervalo
. - Crescendo no intervalo
.