Se
, prove que 0 é o único ponto crítico de
e que
não é extremo local.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função
. A gente precisa descobrir os pontos críticos dessa função e verificar se o valor de
nesse ponto é um extremo local. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar esses pontos críticos e entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
Passo 3
Agora, para achar os pontos críticos, precisamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou onde ela não existe. Nesse caso, a derivada
sempre existe, então vamos resolver:
Dividindo ambos os lados por 3:
Tirando a raiz quadrada:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é um ponto de extremo local. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada da função.
Passo 5
Avaliamos a segunda derivada no ponto crítico
:
Como a segunda derivada é zero, o teste está inconclusivo. Então, vamos analisar o comportamento da função em torno de
.
Passo 6
Observando a função
, vemos que para
próximos de 0:
- Se
é positivo, é positivo. - Se
é negativo, é negativo.
Isso mostra que a função passa pelo ponto (0,0) mudando de crescente para crescente, mas sem atingir um ponto máximo ou mínimo local.
Resposta
O ponto
é o único ponto crítico da função
e
não é um extremo local.
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cresce e onde
decresce.
(d) .
(d)
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