Se , prove que 0 é o único ponto crítico de e que não é extremo local.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função . A gente precisa descobrir os pontos críticos dessa função e verificar se o valor de nesse ponto é um extremo local. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar esses pontos críticos e entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.

Passo 3

Agora, para achar os pontos críticos, precisamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou onde ela não existe. Nesse caso, a derivada sempre existe, então vamos resolver:
Dividindo ambos os lados por 3:
Tirando a raiz quadrada:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora, vamos verificar se é um ponto de extremo local. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada da função.

Passo 5

Avaliamos a segunda derivada no ponto crítico :
Como a segunda derivada é zero, o teste está inconclusivo. Então, vamos analisar o comportamento da função em torno de .

Passo 6

Observando a função , vemos que para próximos de 0:
  • Se é positivo, é positivo.
  • Se é negativo, é negativo.
Isso mostra que a função passa pelo ponto (0,0) mudando de crescente para crescente, mas sem atingir um ponto máximo ou mínimo local.

Resposta

O ponto é o único ponto crítico da função e não é um extremo local.

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(d) .
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