Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que sua área seja máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que um fazendeiro quer construir um galinheiro retangular usando 16 metros de tela. Ele vai usar um muro como um dos lados do galinheiro. Nosso objetivo é descobrir qual o tamanho dos lados do galinheiro para que a área seja a maior possível. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de matemática, especificamente otimização de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar mentalmente o galinheiro. Como um dos lados é o muro, não precisamos cercar esse lado com a tela. Então, temos que cercar dois lados com a largura (vamos chamar de “w”) e um lado com o comprimento (vamos chamar de “l”).

Passo 3

Sabemos que a quantidade total de tela disponível é 16 metros. Isso nos dá a equação:
Aqui, representa os dois lados das larguras e é o lado do comprimento.

Passo 4

Queremos maximizar a área do galinheiro. A área de um retângulo é calculada por:
Nossa meta é encontrar os valores de e que fazem essa área ser a maior possível.

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis. Vou resolver para :
Agora, podemos substituir essa expressão na fórmula da área:

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza a área, precisamos encontrar o ponto onde a derivada da área em relação a é zero. Calculando a derivada:
Igualando a derivada a zero:

Passo 7

Agora que sabemos que a largura é 4 metros, podemos encontrar o comprimento usando a equação que encontramos antes:

Resposta

As dimensões do galinheiro que maximizam a área são 4 metros de largura e 8 metros de comprimento, resultando em uma área máxima de 32 metros quadrados.

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(a)