Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função
. Também precisamos classificar esses pontos como máximos ou mínimos locais e descobrir onde a função está crescente ou decrescente.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Precisamos encontrar a derivada primeira da função para identificar os pontos críticos, que são onde a derivada iguala a zero ou não existe. Depois, analisamos o sinal da derivada para determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada primeira da função
.
Sabemos que a derivada de
é 1, e para
, podemos reescrever como
. A derivada de
é
.
Então, a derivada primeira é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
.
Isolando:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, analisamos o sinal da derivada antes e depois de
.
-
Para
:
Escolha: Isso significa que a função está decrescente nesse intervalo. -
Para
:
Escolha: Aqui, a função está crescente.
Como a derivada muda de negativa para positiva ao passar por
, esse ponto é um mínimo local.
Passo 5
Finalmente, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento:
- Crescente: Quando
, ou seja, para . - Decrescente: Quando
, ou seja, para .
Resposta
O ponto crítico da função
é
, que é um mínimo local. A função é decrescente para
e crescente para
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(b)
(b)
Calcule em cada item a derivada de ordem superior indicada.
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(e)
(e)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(d)
(d)