Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função . Também precisamos classificar esses pontos como máximos ou mínimos locais e descobrir onde a função está crescente ou decrescente.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Precisamos encontrar a derivada primeira da função para identificar os pontos críticos, que são onde a derivada iguala a zero ou não existe. Depois, analisamos o sinal da derivada para determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada primeira da função .
Sabemos que a derivada de é 1, e para , podemos reescrever como . A derivada de é .
Então, a derivada primeira é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo .
Isolando:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, analisamos o sinal da derivada antes e depois de .
  • Para :
    Escolha :
    Isso significa que a função está decrescente nesse intervalo.
  • Para :
    Escolha :
    Aqui, a função está crescente.
Como a derivada muda de negativa para positiva ao passar por , esse ponto é um mínimo local.

Passo 5

Finalmente, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento:
  • Crescente: Quando , ou seja, para .
  • Decrescente: Quando , ou seja, para .

Resposta

O ponto crítico da função é , que é um mínimo local. A função é decrescente para e crescente para .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(b)
Calcule em cada item a derivada de ordem superior indicada.
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(e)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(d)