Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde temos a função definida no intervalo fechado . Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função dentro do intervalo aberto e, a partir daí, determinar os pontos de máximo e mínimo global. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar onde ela é igual a zero (os pontos críticos) e então comparar os valores da função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar as taxas de variação da função e identificar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os valores de dentro do intervalo onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada está definida para todo , vamos resolver:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:

  1. Mas está na extremidade do intervalo e não no intervalo aberto , então não consideramos aqui.

  2. Dentro do nosso intervalo , temos .
Então, o único ponto crítico dentro de é .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, e também encontrar os valores máximos e mínimos globais, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.
Calculando em:
  • :
  • :
  • :

Passo 5

Agora, com os valores obtidos:
Podemos ver que:
  • Mínimo Global: O menor valor é 10, que ocorre em .
  • Máximo Global: O maior valor é 68, que ocorre em .

Resposta

No intervalo , a função tem um mínimo global em com valor e um máximo global em com valor .

Exercícios relacionados

Calcule em cada item a derivada de ordem superior indicada.
Determine a derivada das funções dada.
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(a)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(e)