Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde temos a função
definida no intervalo fechado
. Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função dentro do intervalo aberto
e, a partir daí, determinar os pontos de máximo e mínimo global. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar onde ela é igual a zero (os pontos críticos) e então comparar os valores da função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a encontrar as taxas de variação da função e identificar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os valores de
dentro do intervalo
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada
está definida para todo
, vamos resolver:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
-
⇒
Masestá na extremidade do intervalo e não no intervalo aberto , então não consideramos aqui. -
⇒
Dentro do nosso intervalo, temos .
Então, o único ponto crítico dentro de
é
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, e também encontrar os valores máximos e mínimos globais, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.
Calculando
em:
-
: -
: -
:
Passo 5
Agora, com os valores obtidos:
Podemos ver que:
- Mínimo Global: O menor valor é 10, que ocorre em
. - Máximo Global: O maior valor é 68, que ocorre em
.
Resposta
No intervalo
, a função
tem um mínimo global em
com valor
e um máximo global em
com valor
.
Exercícios relacionados
Calcule em cada item a derivada de ordem superior indicada.
Determine a derivada das funções dada.
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(a)
(a)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(e)
(e)