Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é crescente e decrescente.
(e) f(x) = x^3 - 12x - 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos, classificar como máximos ou mínimos locais, e determinar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente para a função .
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, mais especificamente o estudo de derivadas para encontrar comportamentos da função.
O que vamos precisar: Vamos calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou não existe (pontos críticos), analisar a segunda derivada para classificar os pontos críticos e, por fim, determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como a nossa derivada é um polinômio, ela existe para todo valor de . Então, vamos resolver:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para :
Quando a segunda derivada é positiva, significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.
  • Para :
Quando a segunda derivada é negativa, a função é côncava para baixo, indicando um máximo local.

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada .
Vamos fatorar a derivada:
Os pontos onde a derivada muda de sinal são e . Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos:
  1. Intervalo :
    • Escolha :
    A derivada é positiva, então a função é crescente nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    A derivada é negativa, então a função é decrescente nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    • Escolha :
    A derivada é positiva, então a função é crescente nesse intervalo.

Resposta

  • Pontos Críticos:
    • Máximo Local
    • Mínimo Local
  • Intervalos de Crescimento:
  • Intervalo de Decrescimento:

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