Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos, classificar como máximos ou mínimos locais, e determinar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente para a função
.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, mais especificamente o estudo de derivadas para encontrar comportamentos da função.
O que vamos precisar: Vamos calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou não existe (pontos críticos), analisar a segunda derivada para classificar os pontos críticos e, por fim, determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como a nossa derivada
é um polinômio, ela existe para todo valor de
. Então, vamos resolver:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
Quando a segunda derivada é positiva, significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.
- Para
:
Quando a segunda derivada é negativa, a função é côncava para baixo, indicando um máximo local.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada
.
Vamos fatorar a derivada:
Os pontos onde a derivada muda de sinal são
e
. Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos:
-
Intervalo
: - Escolha
:
A derivada é positiva, então a função é crescente nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
A derivada é negativa, então a função é decrescente nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
A derivada é positiva, então a função é crescente nesse intervalo. - Escolha
Resposta
-
Pontos Críticos:
-
→ Máximo Local -
→ Mínimo Local
-
-
Intervalos de Crescimento:
-
-
Intervalo de Decrescimento:
-