Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos da função no intervalo e depois determinar os pontos de máximo e mínimo globais dessa função. Vamos usar conceitos de derivadas para achar os pontos críticos e depois comparar os valores nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função para identificar os pontos onde a derivada é zero ou não existe. Esses são os chamados pontos críticos.
A função é . Podemos reescrever isso como .
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde ou onde não está definida.
  1. Quando :
    Então, é um ponto crítico.
  2. Quando não está definida:
    A derivada não está definida quando o denominador é zero:
    No entanto, olhando para o intervalo , apenas está no intervalo. Porém, pontos onde a derivada não está definida nas extremidades do intervalo já serão considerados ao avaliar os extremos.

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, que são e (limite do intervalo), vamos avaliar a função nesses pontos e também nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
  1. Em :
  2. Em :
  3. Em :

Passo 5

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O maior valor é 2 em e o menor valor é 0 em .

Resposta

O ponto de máximo global da função no intervalo é com . O ponto de mínimo global é com .

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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(d)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(e)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(b)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(g)