Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
no intervalo
e depois determinar os pontos de máximo e mínimo globais dessa função. Vamos usar conceitos de derivadas para achar os pontos críticos e depois comparar os valores nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função
para identificar os pontos onde a derivada é zero ou não existe. Esses são os chamados pontos críticos.
A função é
. Podemos reescrever isso como
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde
ou onde
não está definida.
-
Quando
: Então,é um ponto crítico. -
Quando
não está definida: A derivada não está definida quando o denominador é zero:No entanto, olhando para o intervalo, apenas está no intervalo. Porém, pontos onde a derivada não está definida nas extremidades do intervalo já serão considerados ao avaliar os extremos.
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, que são
e
(limite do intervalo), vamos avaliar a função
nesses pontos e também nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
-
Em
: -
Em
: -
Em
:
Passo 5
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O maior valor é 2 em
e o menor valor é 0 em
.
Resposta
O ponto de máximo global da função
no intervalo
é
com
. O ponto de mínimo global é
com
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(d)
(d)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(e)
(e)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(b)
(b)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(g)
(g)