Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde você tem a função
. Nossa missão aqui é encontrar os pontos críticos, classificar cada um como máximo ou mínimo local, e descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Como temos uma fração, vamos usar a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas de
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a derivada para facilitar os próximos passos.
Expandindo os termos no numerador:
Subtraindo os dois resultados:
Então, a derivada simplificada é:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos identificar onde a derivada é zero ou não existe. Como o denominador
nunca é zero (porque
), focamos no numerador:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos críticos como m��ximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor dos pontos críticos. Vamos optar por analisar o sinal da primeira derivada.
Vamos escolher valores próximos a cada ponto crítico e ver se a derivada muda de sinal:
-
Para
: - Escolha
: - Escolha
: - Como a derivada muda de negativa para positiva,
é um mínimo local.
- Escolha
-
Para
: - Escolha
: - Escolha
: - Como a derivada muda de positiva para negativa,
é um máximo local.
- Escolha
Passo 6
Finalmente, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo usando a derivada:
- Crescendo quando
- Decrescendo quando
Baseado nos pontos críticos
e
, dividimos a linha dos números em três intervalos:
-
Para
: - Teste
:
- Teste
-
Para
: - Teste
:
- Teste
-
Para
: - Teste
:
- Teste
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: Mínimo local -
: Máximo local
A função é:
- Decrescente no intervalo
e - Crescente no intervalo
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(d)
(d)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(d)
(d)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(g)
(g)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(b)
(b)