Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde você tem a função . Nossa missão aqui é encontrar os pontos críticos, classificar cada um como máximo ou mínimo local, e descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Como temos uma fração, vamos usar a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se , então:
Aqui, e .
Calculando as derivadas de e :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a derivada para facilitar os próximos passos.
Expandindo os termos no numerador:
Subtraindo os dois resultados:
Então, a derivada simplificada é:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos identificar onde a derivada é zero ou não existe. Como o denominador nunca é zero (porque ), focamos no numerador:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Agora, vamos classificar esses pontos críticos como m��ximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor dos pontos críticos. Vamos optar por analisar o sinal da primeira derivada.
Vamos escolher valores próximos a cada ponto crítico e ver se a derivada muda de sinal:
  1. Para :
    • Escolha :
    • Escolha :
    • Como a derivada muda de negativa para positiva, é um mínimo local.
  2. Para :
    • Escolha :
    • Escolha :
    • Como a derivada muda de positiva para negativa, é um máximo local.

Passo 6

Finalmente, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo usando a derivada:
  • Crescendo quando
  • Decrescendo quando
Baseado nos pontos críticos e , dividimos a linha dos números em três intervalos:
  1. Para :
    • Teste :
  2. Para :
    • Teste :
  3. Para :
    • Teste :

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Mínimo local
  • : Máximo local
A função é:
  • Decrescente no intervalo e
  • Crescente no intervalo

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(d)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(d)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(g)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(b)