Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar os pontos críticos, e analisar onde a função está crescendo ou decrescendo. Basicamente, vamos:
  1. Encontrar a derivada da função.
  2. Determinar onde essa derivada é zero ou não existe (os pontos críticos).
  3. Classificar esses pontos como máximos ou mínimos.
  4. Verificar os intervalos onde a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada de é , então aplicando a regra do produto:
Podemos simplificar isso combinando as parcelas:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem quando a derivada é zero ou não existe. A derivada será zero quando o numerador for zero:
Também precisamos verificar onde a derivada não existe. A raiz no denominador existe somente se , ou seja, . Fora desse intervalo, a função original não está definida, então não consideramos pontos críticos além de .

Passo 4

Vamos classificar os pontos críticos e como máximos ou mínimos. Para isso, podemos usar o teste da derivada segunda ou analisar o sinal da derivada em torno desses pontos.
Vamos optar por analisar o sinal da derivada:
  • Para : Vamos testar . Mas não está no domínio da função ( ), então consideramos valores como .
  • Entre e : Vamos testar .
  • Para : Vamos testar .
Então, a derivada muda de negativa para positiva em e de positiva para negativa em . Isso significa que:
  • é um mínimo local.
  • é um máximo local.

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescente ou decrescente:
  • Crescente: Onde a derivada . Observamos que isso ocorre entre e .
  • Decrescente: Onde a derivada . Isso acontece para e , dentro do domínio da função ( ).

Resposta

Os pontos críticos da função são (mínimo local) e (máximo local). A função é crescente no intervalo e decrescente nos intervalos e .

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Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(b)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(d)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(b)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(a)