Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar os pontos críticos, e analisar onde a função está crescendo ou decrescendo. Basicamente, vamos:
- Encontrar a derivada da função.
- Determinar onde essa derivada é zero ou não existe (os pontos críticos).
- Classificar esses pontos como máximos ou mínimos.
- Verificar os intervalos onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada de
é
, então aplicando a regra do produto:
Podemos simplificar isso combinando as parcelas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem quando a derivada é zero ou não existe. A derivada
será zero quando o numerador for zero:
Também precisamos verificar onde a derivada não existe. A raiz no denominador
existe somente se
, ou seja,
. Fora desse intervalo, a função original não está definida, então não consideramos pontos críticos além de
.
Passo 4
Vamos classificar os pontos críticos
e
como máximos ou mínimos. Para isso, podemos usar o teste da derivada segunda ou analisar o sinal da derivada em torno desses pontos.
Vamos optar por analisar o sinal da derivada:
- Para
: Vamos testar . Mas não está no domínio da função ( ), então consideramos valores como .
- Entre
e : Vamos testar .
- Para
: Vamos testar .
Então, a derivada muda de negativa para positiva em
e de positiva para negativa em
. Isso significa que:
-
é um mínimo local. -
é um máximo local.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescente ou decrescente:
-
Crescente: Onde a derivada
. Observamos que isso ocorre entre e . -
Decrescente: Onde a derivada
. Isso acontece para e , dentro do domínio da função ( ).
Resposta
Os pontos críticos da função
são
(mínimo local) e
(máximo local). A função é crescente no intervalo
e decrescente nos intervalos
e
.
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Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(b)
(b)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(d)
(d)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(b)
(b)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(a)
(a)