Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os pontos críticos da função no intervalo fechado . Depois disso, vamos determinar quais desses pontos são os máximos e mínimos globais da função nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para achar os pontos críticos e então comparar os valores da função nesses pontos e nas bordas do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem inclinação zero, ou seja, possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Podemos fatorar:
Então, temos duas soluções:
Esses são os pontos críticos dentro do intervalo .

Passo 4

Para identificar quais desses pontos são máximos ou mínimos globais, vamos avaliar a função nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo.
Calculando em :
Em :
Em :
Em :

Resposta

Analisando os valores:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :
Portanto, o mínimo global da função no intervalo é , que ocorre em e , e o máximo global é , que ocorre em .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(b)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(g)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(e)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(g)