Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
no intervalo fechado
. Depois disso, vamos determinar quais desses pontos são os máximos e mínimos globais da função nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para achar os pontos críticos e então comparar os valores da função nesses pontos e nas bordas do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem inclinação zero, ou seja, possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Podemos fatorar:
Então, temos duas soluções:
Esses são os pontos críticos dentro do intervalo
.
Passo 4
Para identificar quais desses pontos são máximos ou mínimos globais, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo.
Calculando
em
:
Em
:
Em
:
Em
:
Resposta
Analisando os valores:
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
:
Portanto, o mínimo global da função no intervalo
é
, que ocorre em
e
, e o máximo global é
, que ocorre em
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(b)
(b)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(g)
(g)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(e)
(e)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(g)
(g)