Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função , classificar esses pontos como máximos ou mínimos locais e descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função tem inclinação positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo). Como temos uma função que é um quociente, vamos usar a regra do quociente:
Depois de simplificar essa expressão, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Vamos resolver :
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando . Mas também é o ponto onde a função original não está definida, então não consideramos isso como um ponto crítico relevante para máximos ou mínimos.

Passo 4

Agora que identificamos como ponto crítico, vamos determinar se é um máximo ou mínimo local. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois desse ponto.
Escolhendo valores próximos a 0:
  • Para , por exemplo :
A derivada é positiva, então a função está crescendo.
  • Para , por exemplo (mas lembrando que não está definido), então escolhemos :
A derivada é negativa, então a função está decrescendo.
Como a função passa de crescente para decrescente em , isso indica que é um ponto de máximo local.

Passo 5

Por fim, vamos determinar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente:
  • Crescente: Quando a derivada é positiva, ou seja, para .
  • Decrescente: Quando a derivada é negativa, ou seja, para .

Resposta

A função possui um ponto crítico em , que é um máximo local. A função é crescente para e decrescente para .

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(g)
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(e)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(h)
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(d)