Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
, classificar esses pontos como máximos ou mínimos locais e descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função tem inclinação positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo). Como temos uma função que é um quociente, vamos usar a regra do quociente:
Depois de simplificar essa expressão, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Vamos resolver
:
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Mas
também é o ponto onde a função original não está definida, então não consideramos isso como um ponto crítico relevante para máximos ou mínimos.
Passo 4
Agora que identificamos
como ponto crítico, vamos determinar se é um máximo ou mínimo local. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois desse ponto.
Escolhendo valores próximos a 0:
- Para
, por exemplo :
A derivada é positiva, então a função está crescendo.
- Para
, por exemplo (mas lembrando que não está definido), então escolhemos :
A derivada é negativa, então a função está decrescendo.
Como a função passa de crescente para decrescente em
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Por fim, vamos determinar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente:
- Crescente: Quando a derivada é positiva, ou seja, para
. - Decrescente: Quando a derivada é negativa, ou seja, para
.
Resposta
A função possui um ponto crítico em
, que é um máximo local. A função é crescente para
e decrescente para
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(g)
(g)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(e)
(e)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(h)
(h)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(d)
(d)