Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é crescente e decrescente.
(h) f(x) = x^(2/3) * (x^2 - 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função , classificar esses pontos como máximos ou mínimos locais, e também descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, já que elas nos ajudam a identificar os pontos críticos e o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, onde a função está subindo ou descendo. Vamos usar a regra do produto, já que é o produto de duas funções: e .
A derivada da função produto é dada por:

Passo 3

Vamos calcular e separadamente.
Para :
Para :

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da derivada do produto:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Para facilitar, vamos colocar os termos sobre um denominador comum:

Passo 6

Os pontos críticos ocorrem quando ou quando não está definida. Vamos resolver :
Também, não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando .
Então, temos pontos críticos em , e .

Passo 7

Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos a segunda derivada ou analisamos o sinal da primeira derivada ao redor dos pontos críticos.
Vamos usar o teste da primeira derivada:
  • Para :
    • Escolha valores próximos, como e .
    • Verifique o sinal de :
      • Se muda de positivo para negativo, é máximo.
      • Se muda de negativo para positivo, é mínimo.
  • Repetimos o processo para e .

Passo 8

Vamos analisar:
  • Em :
    • Para , digamos , → negativo.
    • Para , digamos , → positivo.
    • Logo, muda de negativo para positivo → mínimo local em .
  • Em :
    • A derivada não está definida, precisamos observar o comportamento da função ao redor.
    • Observando a função, vemos que ela tem um ponto de inflexão em , não um máximo ou mínimo.
  • Em :
    • Para , digamos , → negativo.
    • Para , digamos , → positivo.
    • Logo, muda de negativo para positivo → mínimo local em .

Passo 9

Finalmente, vamos determinar onde a função está crescendo ou diminuindo:
  • Crescente quando :
    • Intervalos: e .
  • Decrescente quando :
    • Intervalos: e .

Resposta

Os pontos críticos da função são , e . Os pontos e são mínimos locais. A função está crescendo nos intervalos e , e está decrescendo nos intervalos e .

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