Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
, classificar esses pontos como máximos ou mínimos locais, e também descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, já que elas nos ajudam a identificar os pontos críticos e o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, onde a função está subindo ou descendo. Vamos usar a regra do produto, já que
é o produto de duas funções:
e
.
A derivada da função produto
é dada por:
Passo 3
Vamos calcular
e
separadamente.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da derivada do produto:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Para facilitar, vamos colocar os termos sobre um denominador comum:
Passo 6
Os pontos críticos ocorrem quando
ou quando
não está definida. Vamos resolver
:
Também,
não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando
.
Então, temos pontos críticos em
,
e
.
Passo 7
Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos a segunda derivada ou analisamos o sinal da primeira derivada ao redor dos pontos críticos.
Vamos usar o teste da primeira derivada:
-
Para
: - Escolha valores próximos, como
e . - Verifique o sinal de
: - Se muda de positivo para negativo, é máximo.
- Se muda de negativo para positivo, é mínimo.
- Escolha valores próximos, como
-
Repetimos o processo para
e .
Passo 8
Vamos analisar:
-
Em
: - Para
, digamos , → negativo. - Para
, digamos , → positivo. - Logo, muda de negativo para positivo → mínimo local em
.
- Para
-
Em
: - A derivada não está definida, precisamos observar o comportamento da função ao redor.
- Observando a função, vemos que ela tem um ponto de inflexão em
, não um máximo ou mínimo.
-
Em
: - Para
, digamos , → negativo. - Para
, digamos , → positivo. - Logo, muda de negativo para positivo → mínimo local em
.
- Para
Passo 9
Finalmente, vamos determinar onde a função está crescendo ou diminuindo:
-
Crescente quando
: - Intervalos:
e .
- Intervalos:
-
Decrescente quando
: - Intervalos:
e .
- Intervalos:
Resposta
Os pontos críticos da função
são
,
e
. Os pontos
e
são mínimos locais. A função está crescendo nos intervalos
e
, e está decrescendo nos intervalos
e
.