Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(e)
(e)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão nos apresenta uma função
definida no intervalo fechado
. Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função dentro desse intervalo e, a partir daí, determinar os pontos de máximo e mínimo globais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são valores de
onde a derivada da função é zero ou não existe. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a derivada de
.
Passo 3
A função dada é
. Vamos calcular sua derivada usando a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 4
Vamos identificar
e
:
Agora, calculamos as derivadas de
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
, então:
Então,
é um ponto crítico no intervalo
.
Passo 7
Vamos agora avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para determinar os máximos e mínimos globais. Os pontos que vamos avaliar são
,
e
.
Passo 8
Vamos calcular
em cada um desses pontos:
Passo 9
Comparando os valores:
Vemos que o valor máximo é
e o valor mínimo é
no intervalo
.
Resposta
O ponto de máximo global ocorre em
com
e o ponto de mínimo global ocorre em
com
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(a)
(a)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(b)
(b)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(g)
(g)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
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