Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(e)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão nos apresenta uma função definida no intervalo fechado . Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função dentro desse intervalo e, a partir daí, determinar os pontos de máximo e mínimo globais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são valores de onde a derivada da função é zero ou não existe. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a derivada de .

Passo 3

A função dada é . Vamos calcular sua derivada usando a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 4

Vamos identificar e :
Agora, calculamos as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de , então:
Então, é um ponto crítico no intervalo .

Passo 7

Vamos agora avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para determinar os máximos e mínimos globais. Os pontos que vamos avaliar são , e .

Passo 8

Vamos calcular em cada um desses pontos:

Passo 9

Comparando os valores:
Vemos que o valor máximo é e o valor mínimo é no intervalo .

Resposta

O ponto de máximo global ocorre em com e o ponto de mínimo global ocorre em com .

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Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(a)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(b)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(g)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
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