Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado [a, b]. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo (a, b), determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(g) v(t) = e^(-t^2), t in [-4, 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente tem uma função definida no intervalo fechado . O que a gente precisa fazer é:
  1. Encontrar os pontos críticos da função dentro do intervalo aberto .
  2. Determinar os pontos de máximo e mínimo global dessa função no intervalo .
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função , porque os pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo.
A função dada é:
Usando a regra da cadeia para derivadas, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses são os pontos críticos.
A derivada que encontramos é:
Sabemos que a função exponencial nunca é zero e está sempre definida para todo valor real de . Portanto, a única maneira de é quando:
Então, o único ponto crítico dentro do intervalo é .

Passo 4

Agora que identificamos o ponto crítico , vamos avaliar a função nesse ponto e também nos extremos do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Calculando nos pontos:
  1. No ponto crítico:
  1. Nos extremos do intervalo:

Passo 5

Comparando os valores encontrados:
Podemos ver que o valor máximo ocorre em e os valores nos extremos são muito pequenos.

Resposta

No intervalo , a função atinge seu máximo global em com valor . Os mínimos globais são nos extremos e , com valores aproximados de e , respectivamente.

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