Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente tem uma função
definida no intervalo fechado
. O que a gente precisa fazer é:
- Encontrar os pontos críticos da função dentro do intervalo aberto
. - Determinar os pontos de máximo e mínimo global dessa função no intervalo
.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
, porque os pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo.
A função dada é:
Usando a regra da cadeia para derivadas, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a derivada
é igual a zero ou não existe. Esses são os pontos críticos.
A derivada que encontramos é:
Sabemos que a função exponencial
nunca é zero e está sempre definida para todo valor real de
. Portanto, a única maneira de
é quando:
Então, o único ponto crítico dentro do intervalo
é
.
Passo 4
Agora que identificamos o ponto crítico
, vamos avaliar a função
nesse ponto e também nos extremos do intervalo
para encontrar os valores máximos e mínimos.
Calculando
nos pontos:
- No ponto crítico:
- Nos extremos do intervalo:
Passo 5
Comparando os valores encontrados:
Podemos ver que o valor máximo ocorre em
e os valores nos extremos são muito pequenos.
Resposta
No intervalo
, a função
atinge seu máximo global em
com valor
. Os mínimos globais são nos extremos
e
, com valores aproximados de
e
, respectivamente.