Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos da função no intervalo fechado e depois determinar onde estão os pontos de máximo e mínimo global dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de . A derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde a inclinação da função muda, ou seja, os pontos críticos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Então, vamos resolver:

Passo 4

Olha só, a equação não tem solução, porque uma fração só é zero se o numerador for zero, e aqui o numerador é 1, que nunca é zero. Então, não temos pontos críticos dentro do intervalo .

Passo 5

Como não temos pontos críticos dentro do intervalo, para encontrar os máximos e mínimos globais, vamos avaliar a função nos pontos finais do intervalo, ou seja, em e .
Calculando:

Passo 6

Agora, com os valores calculados:
  • Em , a função vale 0.
  • Em , a função vale , que é aproximadamente 1,386.
Como não há outros pontos críticos, esses são os valores máximos e mínimos globais no intervalo.

Resposta

A função no intervalo tem:
  • Mínimo global em com valor .
  • Máximo global em com valor .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(d)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(h)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(f)
Dada , qual é o valor de ?