Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos da função
no intervalo fechado
e depois determinar onde estão os pontos de máximo e mínimo global dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
. A derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde a inclinação da função muda, ou seja, os pontos críticos.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Então, vamos resolver:
Passo 4
Olha só, a equação
não tem solução, porque uma fração só é zero se o numerador for zero, e aqui o numerador é 1, que nunca é zero. Então, não temos pontos críticos dentro do intervalo
.
Passo 5
Como não temos pontos críticos dentro do intervalo, para encontrar os máximos e mínimos globais, vamos avaliar a função nos pontos finais do intervalo, ou seja, em
e
.
Calculando:
Passo 6
Agora, com os valores calculados:
- Em
, a função vale 0. - Em
, a função vale , que é aproximadamente 1,386.
Como não há outros pontos críticos, esses são os valores máximos e mínimos globais no intervalo.
Resposta
A função
no intervalo
tem:
- Mínimo global em
com valor . - Máximo global em
com valor .
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(d)
(d)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(h)
(h)
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(f)
(f)
Dada
, qual é o valor de
?