Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir três coisas:
  1. Pontos críticos: onde a derivada é zero ou não existe.
  2. Classificação dos pontos críticos: se são máximos ou mínimos locais.
  3. Intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Pra isso, vamos mexer com cálculo, tipo derivadas, e entender um pouco sobre comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Usamos a regra do produto porque temos multiplicando .
A derivada de é:
Sabendo que a derivada de é e a derivada de é , temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Eles acontecem onde a derivada é zero ou não existe. Como nunca é zero e sempre existe para todo , só precisamos resolver:
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos estão em e .

Passo 4

Vamos classificar os pontos críticos como máximos ou mínimos locais. Uma forma fácil é usar a segunda derivada.
Primeiro, achamos a segunda derivada :
Sabemos que .
Então,
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  1. Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um mínimo local.
  1. Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um máximo local.

Passo 5

Vamos determinar onde a função está crescente e decrescente. Isso depende do sinal da primeira derivada .
Lembrando que:
Como para todo , vamos analisar o sinal de :
Já resolvemos a equação e sabemos que as raízes são e .
Vamos analisar os intervalos divididos por esses pontos:
  1. Para , por exemplo, :
Então, Crescente.
  1. Para , por exemplo, :
Então, Decrescente.
  1. Para , por exemplo, :
Então, Crescente.

Resposta

Os pontos críticos da função são e .
  • é um máximo local.
  • é um mínimo local.
A função é:
  • Crescente nos intervalos e .
  • Decrescente no intervalo .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(f)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(d)
Dada , qual é o valor de ?
Considerando , informe em quais intervalos é crescente.