Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir três coisas:
- Pontos críticos: onde a derivada é zero ou não existe.
- Classificação dos pontos críticos: se são máximos ou mínimos locais.
- Intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Pra isso, vamos mexer com cálculo, tipo derivadas, e entender um pouco sobre comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Usamos a regra do produto porque temos
multiplicando
.
A derivada de
é:
Sabendo que a derivada de
é
e a derivada de
é
, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Eles acontecem onde a derivada é zero ou não existe. Como
nunca é zero e sempre existe para todo
, só precisamos resolver:
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 4
Vamos classificar os pontos críticos como máximos ou mínimos locais. Uma forma fácil é usar a segunda derivada.
Primeiro, achamos a segunda derivada
:
Sabemos que
.
Então,
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um mínimo local.
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um máximo local.
Passo 5
Vamos determinar onde a função está crescente e decrescente. Isso depende do sinal da primeira derivada
.
Lembrando que:
Como
para todo
, vamos analisar o sinal de
:
Já resolvemos a equação
e sabemos que as raízes são
e
.
Vamos analisar os intervalos divididos por esses pontos:
- Para
, por exemplo, :
Então,
→ Crescente.
- Para
, por exemplo, :
Então,
→ Decrescente.
- Para
, por exemplo, :
Então,
→ Crescente.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
.
-
é um máximo local. -
é um mínimo local.
A função é:
- Crescente nos intervalos
e . - Decrescente no intervalo
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(f)
(f)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(d)
(d)
Dada
, qual é o valor de
?
Considerando
, informe em quais intervalos
é crescente.