Considerando
, informe em quais intervalos
é crescente.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem a função
e queremos descobrir em quais intervalos essa função está crescente. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, mais especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para saber onde uma função está crescendo, a gente precisa encontrar a sua derivada e ver onde essa derivada é positiva. A derivada nos dá a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em um intervalo, significa que a função está aumentando nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usando as regras de derivação:
Passo 4
Agora, queremos saber onde
. Ou seja, onde:
Vamos resolver essa desigualdade.
Passo 5
Primeiro, fatoramos a expressão:
Então, temos:
Passo 6
Para resolver a desigualdade
, vamos encontrar os valores de
que fazem cada fator ser positivo ou negativo:
-
e -
e
Passo 7
Vamos resolver
:
E para
:
Passo 8
Agora, analisando as duas situações:
- Quando
e : - Quando
e :
Resposta
Portanto, a função
é crescente nos intervalos:
Exercícios relacionados
Dada
, qual é o valor de
?
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(f)
(f)
Restrita apenas ao intervalo
, quais são os pontos críticos de
Mostre que