Considerando h(x) = x^3 - b x^2 + 6, informe em quais intervalos h(x) é crescente.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem a função e queremos descobrir em quais intervalos essa função está crescente. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, mais especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para saber onde uma função está crescendo, a gente precisa encontrar a sua derivada e ver onde essa derivada é positiva. A derivada nos dá a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em um intervalo, significa que a função está aumentando nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usando as regras de derivação:

Passo 4

Agora, queremos saber onde . Ou seja, onde:
Vamos resolver essa desigualdade.

Passo 5

Primeiro, fatoramos a expressão:
Então, temos:

Passo 6

Para resolver a desigualdade , vamos encontrar os valores de que fazem cada fator ser positivo ou negativo:
  • e
  • e

Passo 7

Vamos resolver :
E para :

Passo 8

Agora, analisando as duas situações:
  1. Quando e :
  2. Quando e :

Resposta

Portanto, a função é crescente nos intervalos:

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