Dada , qual é o valor de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar a derivada dessa função, , no ponto onde . Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a regra do produto porque a função é o produto de duas partes: uma exponencial e uma potência. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais e polinomiais e aplicar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão se multiplicando:
Para encontrar a derivada de , que é o produto de e , usamos a Regra do Produto. A regra diz que:
Agora, vamos calcular as derivadas individuais de e .

Passo 3

Vamos derivar :
A derivada de uma função exponencial é , onde .
Então:
Agora, vamos derivar :
A derivada de é .
Então:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Produto com as derivadas que encontramos:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar , ou seja, substituir na expressão da derivada:
Simplificando e :

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
(f)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado . Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo , determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(f)
Considerando , informe em quais intervalos é crescente.
Restrita apenas ao intervalo , quais são os pontos críticos de