Dada y(x) = e^(a x - a) x^b, qual é o valor de y'(1) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar a derivada dessa função, , no ponto onde . Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a regra do produto porque a função é o produto de duas partes: uma exponencial e uma potência. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais e polinomiais e aplicar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão se multiplicando:
Para encontrar a derivada de , que é o produto de e , usamos a Regra do Produto. A regra diz que:
Agora, vamos calcular as derivadas individuais de e .

Passo 3

Vamos derivar :
A derivada de uma função exponencial é , onde .
Então:
Agora, vamos derivar :
A derivada de é .
Então:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Produto com as derivadas que encontramos:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar , ou seja, substituir na expressão da derivada:
Simplificando e :

Resposta

O valor de é .

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