Dada
, qual é o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos encontrar a derivada dessa função,
, no ponto onde
. Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a regra do produto porque a função é o produto de duas partes: uma exponencial e uma potência. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais e polinomiais e aplicar a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão se multiplicando:
Para encontrar a derivada de
, que é o produto de
e
, usamos a Regra do Produto. A regra diz que:
Agora, vamos calcular as derivadas individuais de
e
.
Passo 3
Vamos derivar
:
A derivada de uma função exponencial
é
, onde
.
Então:
Agora, vamos derivar
:
A derivada de
é
.
Então:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra do Produto com as derivadas que encontramos:
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
, ou seja, substituir
na expressão da derivada:
Simplificando
e
:
Resposta
O valor de
é
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(f)
(f)
Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo
, determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(f)
(f)
Considerando
, informe em quais intervalos
é crescente.
Restrita apenas ao intervalo
, quais são os pontos críticos de