Para cada uma das funções
abaixo, determine
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função de Laplace
e precisa encontrar a função no domínio do tempo
tal que
seja a transformada de Laplace dela. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e conhecer as transformadas inversas básicas de funções como
.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em frações parciais. Queremos escrever
na forma:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar. Para isso, multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum
:
Expandindo os termos, fica:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 3
Agora, vamos achar a transformada inversa de Laplace de cada termo. Sabemos que:
Aplicando isso aos termos que temos:
Então, substituindo na expressão de
: