Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que o professor passou. Aqui, estamos lidando com equações que envolvem derivadas de duas funções, e , em relação ao tempo . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais de forma matricial. Isso facilita a visualização e o uso de técnicas de álgebra linear para resolver. Nosso sistema é:
Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Agora, vamos lidar com a parte homogênea do sistema, que é:
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores ( ) da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Isso fica:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os autovalores. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Com autovalores complexos, a solução geral da parte homogênea será da forma:
onde , , e é o vetor próprio associado.

Passo 6

Vamos encontrar o vetor próprio para . Resolvendo :
Da primeira linha:
Podemos escolher , então . Portanto, .

Passo 7

Agora, a solução geral da parte homogênea é:
Simplificando, obtemos uma forma mais compacta envolvendo e .

Passo 8

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea . Vamos supor uma solução constante .
Substituindo na equação:
Isso dá:

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda: .
Então, a solução particular é .

Passo 10

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais e para encontrar as constantes e .
Para :
Simplificando:

Passo 12

Resolvendo o primeiro equacionamento: .
Substituindo na segunda equação:

Resposta

A solução do sistema de equações diferenciais é:

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Para cada uma das funções abaixo, determine tal que
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