Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que o professor passou. Aqui, estamos lidando com equações que envolvem derivadas de duas funções, e , em relação ao tempo . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais de forma matricial. Isso facilita a visualização e o uso de técnicas de álgebra linear para resolver. Nosso sistema é:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos lidar com a parte homogênea do sistema, que é:
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores () da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Isso fica:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os autovalores. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são e .
Passo 5
Com autovalores complexos, a solução geral da parte homogênea será da forma:
onde , , e é o vetor próprio associado.
Passo 6
Vamos encontrar o vetor próprio para . Resolvendo :
Da primeira linha:
Podemos escolher , então . Portanto, .
Passo 7
Agora, a solução geral da parte homogênea é:
Simplificando, obtemos uma forma mais compacta envolvendo e .
Passo 8
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea . Vamos supor uma solução constante .
Substituindo na equação:
Isso dá:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda: .
Então, a solução particular é .
Passo 10
A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais e para encontrar as constantes e .