Calcule
onde
é dada por:
sen
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a Transformada de Laplace da função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para transformar funções do tempo
para o domínio da frequência
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformadas básicas de
e de funções trigonométricas como o seno.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que a Transformada de Laplace é uma operação linear. Isso significa que podemos quebrar a transformação em partes menores. Ou seja, a transformada de uma soma de funções é igual à soma das transformadas de cada função individualmente, e podemos tirar constantes multiplicativas para fora da transformada. Matematicamente, isso fica assim:
No nosso caso,
,
,
, e .
Passo 3
Vamos calcular a Transformada de Laplace de
. Existe uma fórmula padrão para a transformada de
:
Onde
é o fatorial de
. Para
:
Então, a primeira parte da nossa função transformada é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace de . A fórmula padrão para a transformada do seno é:
Aqui,
, então:
Multiplicando pela constante
:
Passo 5
Agora que temos as transformadas das duas partes da função original, vamos somá-las para obter a Transformada de Laplace completa de
:
Resposta
A Transformada de Laplace de é: