Calcule L{f(t)} onde f(t) é dada por:
f(t) = 4 t^2 - 5 sen 3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a Transformada de Laplace da função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para transformar funções do tempo para o domínio da frequência . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformadas básicas de e de funções trigonométricas como o seno.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que a Transformada de Laplace é uma operação linear. Isso significa que podemos quebrar a transformação em partes menores. Ou seja, a transformada de uma soma de funções é igual à soma das transformadas de cada função individualmente, e podemos tirar constantes multiplicativas para fora da transformada. Matematicamente, isso fica assim:
No nosso caso, , , , e .

Passo 3

Vamos calcular a Transformada de Laplace de . Existe uma fórmula padrão para a transformada de :
Onde é o fatorial de . Para :
Então, a primeira parte da nossa função transformada é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace de . A fórmula padrão para a transformada do seno é:
Aqui, , então:
Multiplicando pela constante :

Passo 5

Agora que temos as transformadas das duas partes da função original, vamos somá-las para obter a Transformada de Laplace completa de :

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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