Para cada uma das funções abaixo, determine os valores de a e b de modo que f seja derivável.
(b) f(x) = { a*x + b se x < 1, -x^2 + 5*x se x ≥ 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes:
A questão pede para encontrar os valores de e de modo que a função seja derivável. Para que isso aconteça, a função precisa ser contínua em e ter derivadas iguais dos dois lados nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivação de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Então, vamos calcular usando a segunda parte da função, já que para :
Agora, calculamos o limite da esquerda ( ) usando a primeira parte da função:
Para garantir a continuidade:
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, vamos garantir que a derivada de exista em . Isso significa que a derivada à esquerda de 1 deve ser igual à derivada à direita de 1.
Vamos calcular a derivada de cada parte da função:
Para :
Para :
Agora, calculamos a derivada na aproximação de 1:
Derivada à esquerda ( ):
Derivada à direita ( ):
Para que a função seja derivável em :
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações para encontrar e :
Já sabemos que . Substituindo esse valor na primeira equação:
Resolvendo para :

Resposta

Os valores que tornam derivável são e .

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