Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y = 2x - 2, y = 6 e x = 1; ao redor do eixo dos y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um sólido de revolução usando o método das cascas cilíndricas. A gente precisa rotacionar a região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo dos . Para isso, vamos usar a fórmula das cascas cilíndricas e entender bem os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as curvas para visualizar a região que vamos rotacionar. Temos:
  • A reta
  • A reta horizontal
  • A reta vertical
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir os limites da nossa integração.

Passo 3

Vamos achar onde intercepta :
Então, as interseções são em e . Isso significa que nosso intervalo de integração vai de a .

Passo 4

No método das cascas cilíndricas, a fórmula para o volume é:
Aqui, é a distância do elemento à rotação (eixo dos ) e é a altura da casca.
Vamos identificar para nossa função:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então,

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Avaliado de a :
Simplificando:
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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