Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo dos
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um sólido de revolução usando o método das cascas cilíndricas. A gente precisa rotacionar a região delimitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo dos
. Para isso, vamos usar a fórmula das cascas cilíndricas e entender bem os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as curvas para visualizar a região que vamos rotacionar. Temos:
- A reta
- A reta horizontal
- A reta vertical
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir os limites da nossa integração.
Passo 3
Vamos achar onde
intercepta
:
Então, as interseções são em
e
. Isso significa que nosso intervalo de integração vai de
a
.
Passo 4
No método das cascas cilíndricas, a fórmula para o volume é:
Aqui,
é a distância do elemento à rotação (eixo dos
) e
é a altura da casca.
Vamos identificar
para nossa função:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então,
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Avaliado de
a
:
Simplificando:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Sabendo que
e
. Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(d)
(d)
Para quais valores, se houver, das constantes
e
o campo vetorial
Para cada uma das funções abaixo, determine os valores de
e
de modo que
seja derivável.
(b)
(b)
Nos exercícios 18 a 21, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.