Nos exercícios 18 a 21, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido de revolução, que é gerado ao girar uma região em torno do eixo dos
. A região
é delimitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região
. Temos duas curvas verticais:
e
, além das linhas horizontais
e
. Vamos identificar qual dessas curvas está mais à direita (maior valor de
) e qual está mais à esquerda para facilitar nossos cálculos.
Passo 3
Vamos comparar as duas funções de
para diferentes valores de
entre 1 e 2. Ao analisar, percebemos que para
nesse intervalo,
é menor que
. Ou seja,
está à direita e
está à esquerda.
Passo 4
Com isso, podemos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume quando se gira em torno do eixo dos
é:
Aqui,
é a distância da curva mais à direita até o eixo de rotação (neste caso,
) e
é a distância da curva mais à esquerda até o eixo de rotação (
).
Passo 5
Vamos então substituir esses valores na fórmula:
Agora, vamos simplificar as expressões dentro da integral.
Passo 6
Calculando os quadrados:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Começando pela primeira integral:
Passo 8
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
. Isso simplifica a integral para:
Agora, avaliamos de 1 a 2:
Passo 9
Substituindo os resultados das integrais na expressão do volume:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções abaixo, determine os valores de
e
de modo que
seja derivável.
(b)
(b)
Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo dos
;
Um taque de água é enchido de acordo com a
, onde
é o volume de água (em litros) no tanque após thoras. Explique o que o limite representa no contexto do problema.
Sendo
definida implicitamente pela equação
para
e
, encontre uma expressão
para o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de
, para os pontos onde
.