Sabendo que sen'(x) = cos(x) e cos(x) = -sen(x). Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(d) cot(x) = cos(x) / sen(x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a derivada da função utilizando a regra do quociente. Além disso, determinaremos as assíntotas verticais dessa função. Para isso, precisaremos aplicar conceitos de derivadas e analisar onde a função não está definida.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as partes da função que correspondem ao numerador e ao denominador para aplicar a regra do quociente. A regra do quociente é usada para derivar funções que são divisões de duas outras funções. A fórmula da regra do quociente é:
Aqui, e . Vamos precisar das derivadas de u(x) e v(x) para aplicar a fórmula.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas individuais das funções u(x) e v(x):
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Essas derivadas são conhecidas das regras básicas de derivação de funções trigonométricas.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo u, , v e na fórmula:
Simplificando o numerador:
Sabemos que , então:
Portanto, a derivada de é .

Passo 5

Para determinar as assíntotas verticais da função , observamos onde a função não está definida. A função não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando .
Resolvendo :
éú
Isso significa que as assíntotas verticais ocorrem em todos os pontos múltiplos inteiros de pi.

Resposta

A derivada de é e as assíntotas verticais ocorrem nos pontos , onde k é qualquer número inteiro.

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