Sabendo que
e
. Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(d)
(d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar a derivada da função
utilizando a regra do quociente. Além disso, determinaremos as assíntotas verticais dessa função. Para isso, precisaremos aplicar conceitos de derivadas e analisar onde a função não está definida.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as partes da função que correspondem ao numerador e ao denominador para aplicar a regra do quociente. A regra do quociente é usada para derivar funções que são divisões de duas outras funções. A fórmula da regra do quociente é:
Aqui,
e
. Vamos precisar das derivadas de
e
para aplicar a fórmula.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas individuais das funções
e
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Essas derivadas são conhecidas das regras básicas de derivação de funções trigonométricas.
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo
,
,
e
na fórmula:
Simplificando o numerador:
Sabemos que
, então:
Portanto, a derivada de
é
.
Passo 5
Para determinar as assíntotas verticais da função
, observamos onde a função não está definida. A função
não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando
.
Resolvendo
:
Isso significa que as assíntotas verticais ocorrem em todos os pontos múltiplos inteiros de
.
Resposta
A derivada de
é
e as assíntotas verticais ocorrem nos pontos
, onde
é qualquer número inteiro.
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e
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, se
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e
; ao redor do eixo dos
;
Para cada uma das funções abaixo, determine os valores de
e
de modo que
seja derivável.
(b)
(b)