Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e o ponto . Precisamos verificar se o limite existe. Esse limite é na verdade a definição da derivada de em . Para resolver isso, vamos calcular a derivada de e avaliar em .

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função . A derivada de uma função em relação a é o limite:
Mas podemos usar a regra de potência para derivadas, já que .

Passo 3

Aplicando a regra de potência, onde a derivada de é , temos:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada em :

Resposta

Sim, o limite existe e é igual a .

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Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe .
Calcule.
Calcule.
Calcule.