Calcule. lim x -2^- x^2+2 x(x+2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de pela esquerda da função . Vamos precisar usar conceitos de limites, especialmente analisando o comportamento da função perto desse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^2 + 2x = x(x + 2) . No numerador, podemos fatorar x(x + 2)(x + 2)^2 :
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, podemos simplificar ainda mais cancelando um xx + 2 no numerador e no denominador:

Passo 4

Vamos analisar o que acontece quando se aproxima de pela esquerda, ou seja, valores de um pouquinho menores que .
  • O numerador se aproxima de .
  • O denominador se aproxima de pela esquerda, ou seja, fica tendendo a um número muito pequeno e negativo.

Passo 5

Então, temos que a fração está se comportando como ú. Dividir um número negativo por um número muito pequeno e negativo resulta em um número positivo que cresce sem limite.

Resposta

O limite é .

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